2021届广东省深圳市高三第一次调研考试（一模）数学试题（PDF版，含官方答案）

$ 深圳市高三数学第一次调研考试试题答案及评分参考第1页（共13页） 2021 年深圳市高三第一次调研考试 数学试题答案及评分参考 一、单项选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B A D C B C 二、多项选择题： 题号 9 10 11 12 答案 AC BC BD ABD 12. 解析：（1）考查选项 A：若 //CD 平面 xOy ，考虑以下特殊情形： ①当点 B 与坐标原点 O 重合时， S 为正方形； ②当点 A 与坐标原点 O 重合时， S 为三角形，故选项 A 正确； （2）考查选项 B：若点 A 与坐标原点 O 重合，即 AB 在 z 轴上， 易知 //CD 平面 xOy ，且 S 为三角形， 不难知道其面积为 1 2 2 1 2 2 4   = ，故选项 B 正确； （3）考查选项 C：当 OA OB OC= = ，且点 O 在正四面体 ABCD 外部时， 则点 D 恰好为以 OA ， OB ， OC 为棱的正方体的一个顶点， ∵ 1AB = ，∴ 2 2 OA = ，∴ S 是边长为 2 2 的正方形，其面积为 1 2 ，故选项 C 错误； （不难知道当 OA OB OC= = ，且点 O 在正四面体 ABCD 内部时， S 为三角形，且其面积为 5 12 ） （4）考查选项 D：设 AB 的中点为 M ，则 1 2 OM = ，且 3 2 MD = ， 易知 1 3 3 2 2 OD OM MD +  + =  ，即 3 2 OD  ， ∴点 D 到坐标原点 O 的距离小于 3 2 ，故选项 D 正确； 综上所述，应选 A、B、D. 三、填空题： 13. 2 1 ( )= 4 f x x + （答案不唯一） ； 14. 8 ； 15. 6 ； 16. 1 3 + 2 3 . 绝密★启封并使用完毕前 试题类型：A 深圳市高三数学第一次调研考试试题答案及评分参考第2页（共13页） 13. 解析： 2 1 ( )= 4 f x x + ，或 2 1 ( )= 2 x f x + ，或 2 1 ( )= 2 x f x + − 等(只需 2 ( )=f x ax c+ 满足 1 4 ac = 即可) 16. 解析：不妨设 BC a= ， AC b= ， 若 30ACB = ，则由正弦定理可得 2 sin 30 AB =  ，故 1AB = ， ∴由余弦定理得 2 2 2 2 2 2 3 1 2 cos30 3 (1 )( ) 2 a b ab a b ab a b= + −  = + −  − + ， ∴ 2 2 4 2 3a b+  + ， 显然△ A B C   为由△ ABC 所得到的拿破仑三角形(等边三角形)，设其边长为 x ， 易知 90A CB  =  ，且 3 3 A C a = ， 3 3 B C b = ， ∴ 2 2 2 2 2 3 3 1 ( ) ( ) ( ) 3 3 3 x a b a b= + = + ， ∴△ A B C   的面积 2 2 23 3 3 1 3 ( ) (4 2 3) + 4 12 12 2 3 S x a b= = +   + = ， 显然可取等号，即△ A B C   的面积最大值为 1 3 + 2 3 ，故应填 1 3 + 2 3 . 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10 分） 设数列{ } n a 的前 n 项和 nS ，满足 1 1 2 n n n S S S + = + ，且 1 1a = . （1）证明：数列 1 { } n S 为等差数列； （2）求{ } n a 的通项公式. 解：（1）由 1 1 2 n n n S S S + = + ，得 1 1 21 n n n S S S + + = ， …………………………………………………2 分 1 1 1 2 n n S S + − = ， 1 1 1 1 1 S a = = ， 故数列 1 { } n S 是首项为 1，公差为 2 的等差数列. ………………………………………………4 分 （2）由（1）知 1 1 ( 1) 2 2 1 n n n S = + −  = − ， 则 1 2 1 n S n = − ，……………………………………………………………………………………………6 分 当 1n  且 n  Ν 时， 1 1 1 2