第3讲 平面向量（3）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册培优课程训练（学生版+教师版）

高一数学培优课—平面向量（3） 一、基础知识 向量的概念及其表示、向量的模、零向量、平行向量、相等向量、相反向量、向量的夹角、共线定理 二、典型例题 1.设向量满足，，，求的最大值。 2. 两个向量满足，，则的值为？ 3.已知点是锐角的外接圆的圆心，且，若，求的值； 4.已知是的外心，若，且, 求 的值。 5.已知向量垂直，且，若，则的最小值为______________。 6.在和中，是的中点，，若，则与的夹角的余弦值等于 . 7.设是函数（）的图像上任意一点，过点分别向 直线和轴作垂线，垂足分别为，则的值是 ． $高一数学培优课—平面向量（3） 一、基础知识 向量的概念及其表示、向量的模、零向量、平行向量、相等向量、相反向量、向量的夹角、共线定理 二、典型例题 1.设向量满足，，，求的最大值。 解： ，的夹角为。 如图所示，设，则 ，则，所以，因此四边形OACB有外接圆，，因此的最大值即为四边形OACB的外接圆直径。 ，由余弦定理得： 。 设四边形OACB的外接圆半径为，由正弦定理可得：。 综上所述，的最大值为2. 2. 两个向量满足，，则的值为？ 解：设，则 3.已知点是锐角的外接圆的圆心，且，若，求的值； 解： 取AB中点D，则有，代入已知式子可得： B 由， 可得， 两边同乘，化简得： 即 由正弦定理化简可得： 由，两边同时除以得： 4.已知是的外心，若，且, 求 的值。 解：设AB=2，以A为原点，AB所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则。 设外心，由得：，解得： 则， 解得：， 则 5.已知向量垂直，且，若， 则的最小值为______________。 解： 用数形结合法来求解，如图作正方形OACB，链接对角线AB，则向量=（D为对角线AB上的一点）。 向量=（E为OB边上的一点，EB=10）,OD=DC, 则,由几何意义可知，的最小值为EC的长，即为26. 综上所述，的最小值为26. 6.在和中，是的中点，，若，则与的夹角的余弦值等于 . 解：由题意知： 则 由可得： 所以。由，可得： 综上所述，与的夹角的余弦值等于。 7.设是函数（）的图像上任意一点，过点分别向 直线和轴作垂线，垂足分别为，则的值是 ． 解：设，则直线PA的方程为， 由可得，。 所以，故。 综上所述，的值是-1. $