专题训练(一) 证明切线的方法-【黄冈金牌之路·练闯考】2020-2021学年九年级下册初三数学（冀教版）教用

专题训练(一)　证明切线的方法 　　　 　　　　　　　 　　　　　 　类型１　有交点,连半径,证垂直 １．如图,在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,以BC 为直径作☉O 交AB 于点D,取AC 的中点E,连接DE,OE,OD,求 证:DE 是☉O 的切线． 证明:∵点E 为AC 的中点,OC＝ OB,∴ OE ∥ AB,∴∠EOC＝ ∠B,∠EOD ＝ ∠ODB,又 ∵OD ＝OB,∴∠ODB＝∠B,∴∠EOC ＝ ∠EOD,又 ∵OC ＝OD,OE ＝ OE, ∴ △OCE ≌ △ODE, ∴∠EDO ＝ ∠ECO ＝９０°,∴DE ⊥OD,∴DE 是☉O 的切线． ２．(２０２０􀅰河北模拟)如图,在△ABC 中,AB＝AC,O 是 边AC 上的点,以OC 为半径的圆分别交边BC,AC 于 点 D,E,过点 D 作DF⊥AB 于点F． (１)求证:直线 DF 是☉O 的切线; (２)若OC＝１,∠A＝４５°,求劣弧 DE 的长． 解:(１)证 明:如 图,连 接 OD,∵AB ＝AC,∴ ∠B ＝ ∠ACB,∵OC ＝ OD,∴ ∠ODC ＝ ∠ACB,∴ ∠B ＝ ∠ODC,∴OD ∥AB,∵DF ⊥AB, ∴DF⊥OD,∵OD 为 半 径,∴ 直 线 DF 是 ☉O 的 切 线．(２)∵ ∠A ＝４５°,OD ∥ AB, ∴∠AOD＝１８０°－４５°＝１３５°,∴DE ︵ 的长为 １３５×π １８０ ＝ ３ ４ π． ３．如 图 １,在 △ABC 中,点 D 在 边 BC 上,∠ABC ∶ ∠ACB∶∠ADB＝１∶２∶３,☉O 是△ABD 的外接圆． (１)求证:AC 是☉O 的切线; (２)当 BD 是 ☉O 的 直 径 时 (如 图 ２),求 ∠CAD 的 度数． 解:(１)证明:连接 AO 并延长交☉O 于点 E,则 AE 为 ☉O 的直径,连接 DE,如图所示．∵∠ABC∶∠ACB∶ ∠ADB ＝１∶２∶３,∠ADB ＝ ∠ACB ＋ ∠CAD, ∴∠ABC ＝ ∠CAD,∵AE 为 ☉O 的直径,∴∠ADE＝９０°,∴∠EAD ＝ ９０° － ∠AED,∵ ∠AED ＝ ∠ABD,∴∠AED ＝ ∠ABC ＝ ∠CAD, ∴∠EAD ＝ ９０° － ∠CAD,即∠EAD＋∠CAD＝９０°,∴EA⊥AC,∴AC 是☉O 的 切 线．(２)∵BD 是 ☉O 的 直 径,∴∠BAD ＝ ９０°,∴∠ABC ＋ ∠ADB ＝９０°,∵∠ABC ∶ ∠ACB ∶ ∠ADB ＝１∶２∶３,∴４∠ABC ＝９０°,∴ ∠ABC ＝ ２２．５°,由(１)知,∠ABC＝∠CAD,∴∠CAD＝２２．５°． 类型２　 无交点,作垂直,证半径 ４．如图,同心圆O,大圆的弦 AB＝CD,且 AB 是小圆的 切线,切点为E．求证:CD 是小圆的切线． 证明:连接OE,过点O 作OF⊥CD 于点F,图略．∵AB 与 小 ☉O 切 于 点 E,∴OE ⊥AB,∵AB ＝CD, ∴OE＝OF．∴CD与小☉O 相切． ５．如图,△ABC 为等腰三角形,O 是底边BC 的中点,腰 AB 与☉O 相切于点D．求证:AC 是☉O 的切线． 证明:如图,过点O 作OE⊥AC 于点 E,连 接 OD,OA,∵AB 与☉O 相 切 于 点 D,∴AB ⊥ OD,∵△ABC 为 等 腰 三 角 形, O 是 底 边BC 的 中 点,∴AO是 ∠BAC 的 平 分 线,∴ OE ＝ OD,即 OE 是 ☉O 的 半 径, ∵AC经过☉O 的半径OE 的外 端点且垂直于OE,∴AC是☉O 的切线． 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀅰７􀅰 第二十九章　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $