专题训练(三) 二次函数与几何图形的综合问题-【黄冈金牌之路·练闯考】2020-2021学年九年级下册初三数学（冀教版）教用

专题训练(三)　二次函数与几何图形的综合问题 　　　 　　　　　　　 　　　　　 　类型１　二次函数与线段(和)的最值结合 １．如图,抛物线y＝ １ ２ x２＋bx－２ 与x 轴交于A,B 两 点,与y 轴交于点C,且 A(－１,０)． (１)求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标; (２)判断△ABC 的形状,证明你的结论; (３)点 M 是 抛 物 线 对 称 轴 上 的 一 个 动 点,当 △ACM 的周长最小时,求点 M 的坐标． 解:(１)∵ 点 A(－１,０)在 抛 物 线y ＝ １ ２ x２ ＋bx－２ 上,∴ １ ２ × (－１)２ ＋b×(－１)－２＝０,解得b＝－ ３ ２ , ∴抛物线的表达式为y＝ １ ２ x２－ ３ ２ x－２．∵y＝ １ ２ x２ － ３ ２ x－２＝ １ ２ (x－ ３ ２ )２ － ２５ ８ ,∴ 顶 点 D 的 坐 标 为 (３ ２ ,－ ２５ ８ )．(２)△ABC 是直角三角形．证明如下:当x ＝０时,y＝－２,∴C(０,－２),则 OC＝２．当y＝０ 时, １ ２ x２－ ３ ２ x－２＝０,∴x１＝－１,x２＝４,则 B(４,０),∴ OA＝１,OB＝４,∴AB＝５．∵AB２＝２５,AC２＝OA２＋ OC２＝５,BC２＝OC２＋OB２＝２０,∴AC２＋BC２＝AB２, ∴△ABC 是直角三角形．(３)由题意知 A,B 两点关于 对称轴对称,故直线BC 与对称轴的交点即为点 M ．由 B(４,０),C(０,－２),设直线 BC 的表达式为y＝kx－ ２,把B(４,０)代入,得４k－２＝０,解得k＝ １ ２ ,∴ 直线 BC 的表达式为y＝ １ ２ x－２．当x＝ ３ ２ 时,y＝ １ ２ × ３ ２ － ２＝－ ５ ４ ,∴M ( ３ ２ ,－ ５ ４ )． ２．在平面直角坐标系xOy 中,直线l:y＝－２x＋n 与抛物 线y＝mx２－４mx－２m－３相交于点A(－２,７)． (１)求 m,n 的值; (２)过点 A 作AB∥x 轴交抛物线于点B,设抛物线与 x 轴交于点C,D(点C 在点D 的左侧),求△BCD 的面积; (３)点E(t,０)为x 轴上一个动点,过点 E 作平行于y 轴的直线与直线l 和抛物线分别交于点P,Q．当点 P 在点Q 上方时,求线段 PQ 的最大值． 解:(１)把A(－２,７)代入y＝－２x＋n,得７＝４＋n,解 得n＝３．把 A(－２,７)代入y＝mx２－４mx－２m－３,得 ７＝４m ＋８m －２m －３,解得 m ＝１．(２)示 意 图 如 图 所 示,由(１)知抛物线表达式为y＝x２－４x－５,令y＝０ 得,x２－４x－５＝０．解 得 x１ ＝ －１,x２ ＝５,∴C (－１,０), D(５,０),∴CD ＝６．∵A(－２, ７),AB∥x 轴 交 抛 物 线 于 点 B,根据抛物线的轴对称性,可 知 B (６,７),∴S△BCD ＝２１． (３)据题意,可 知 P(t,－２t＋ ３),Q(t,t２－４t－５),由x２－ ４x－５＝－２x＋３,得直线y＝－２x＋３与抛物线y＝ x２－４x－５ 的 两 个 交 点 坐 标 分 别 为 (－２,７)和 (４, －５),∵点 P 在点Q 上方,∴－２＜t＜４,PQ＝－t２＋ ２t＋８＝－(t－１)２＋９,∴当t＝１时,PQ 的最大值为９． 类型２　二次函数与三角形结合 ３．(２０２０􀅰 石家庄模拟)如 图,已 知 抛 物 线 y＝ －x２ ＋ bx＋c 与x 轴交于A,B 两点,AB＝４,交y 轴于点C, 对称轴是直线x＝１． (１)求抛物线的表达式及点C 的坐标; (２)连接BC,点 E 是线段 OC 上一点,点 E 关于直线 x＝１的对称点F 正好落在BC 上,求点F 的坐标; (３)动点 M 从点O 出发,以每秒２个单位长度的速度 向点B 运动,过点 M 作x 轴的垂线交抛物线于点 N．设运动时间为t(t＞０)秒．若 △AOC 与 △BMN 相似,请求出t的值． 解:(１)∵ 点 A, B 关于直线x＝ １对称,AB＝４, ∴ 由 对 称 性 质 知 A (－１,０), B(３,０),代入y ＝－x２＋bx＋c 中,得 －１－b＋c＝０, －９＋３b＋c＝０,{ 解 得 b＝２, c＝３,{ ∴抛物线的表达式为y＝ －x２＋２x＋３,当x＝０ 时, y＝３,∴点C 的坐标为(０,３)．(２)设直线BC 的表达式 为 y ＝ mx ＋n,将 B (３,０),C (０,３)代 入,得 ３m＋n＝０, n＝３,{ 解得 m＝－１, n＝３,{ ∴ 直 线 BC 的 表 达 式 为 y＝－x＋３,∵点E,F 关于直线x＝１对称,又点E 到 对称轴的距离为１,∴EF＝２,∴ 点 F 的横坐标为２,