专题二 二次函数与方程、不等式-【黄冈金牌之路·练闯考】2020-2021学年九年级下册初三数学（湘教版）教用

专题二　二次函数与方程、不等式 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、二次函数与方程(组)、不等式 １．二次函数y＝ax２＋bx 的图象如图, 若一元二次方程ax２＋bx＋m＝０有 实数根,则 m 的最大值为(B ) A．－３ B．３ C．－６ D．９ ２．若抛物线y＝kx２－２x＋１的图象与x 轴: (１)只有一个交点,则k＝　１　; (２)有两个交点,则k 的取值范围是 　k＜１且k≠０　． ３．画出函数y＝x２－２x－３的图象,利用函数图象回答: (１)方程x２－２x－３＝０的解是什么? (２)x 取什么值时,函数值大于０? (３)x 取什么值时,函数值小于０? 解:(１)图象略,x１＝－１,x２＝３　(２)x＜－１或x＞３ 　(３)－１＜x＜３ ４．二次函数y＝ax２＋bx＋c(a≠０)的图象如图所示, 根据图象解答下列问题: (１)写出方程ax２＋bx＋c＝０的两个根; (２)写出不等式ax２＋bx＋c＞０的解集; (３)写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围; (４)若方程ax２＋bx＋c＝k 有两个不相等的实数根, 求k 的取值范围． 解:(１)x１＝１,x２＝３　(２)１＜ x＜３　 (３)x＞２　 (４) 要 使 方 程ax２ ＋bx＋c＝k 有 两 个 不 相等的实数根,由图象可知,须 使抛 物 线y＝ax２ ＋bx＋c 与 直线y＝k 有两个交点,因为抛 物线 的 最 高 点 为 (２,２), 所 以 k＜２ 二、二次函数与方程、不等式的综合应用 ５．已知二次函数y＝a(x－m)２－a(x－m)(a,m 为常 数,且a≠０)． (１)求证:不论a 与m 为何值,该函数的图象与x 轴 点有两个公共点; (２)设该函 数 的 图 象 的 顶 点 为 C,与 x 轴 交 于A,B 两点,与y 轴交于点D,当 △ABC 的面积等于 １ 时,求a 的值． 解:(１) 证 明:y＝a(x－m )２ －a(x－m ) ＝ax２ － (２am＋a)x＋am２＋am．∵当a≠０时,△＝a２＞０, ∴方程有两个不相等的实数根,即无论a 与m 为何 值,该函数的图象与x 轴总有两个公共点　(２)y＝ a(x－m)２－a(x－m) ＝a(x－ ２m＋１ ２ )２ － a ４ , ∴c (２m＋１ ) ２ ,－ a ４ ), 当y＝０ 时,a(x－m)２ －a(x－ m)＝０,∴x１ ＝m,x２ ＝m ＋１, 即 AB＝１, 当 △ABC 的面积等于 １ 时, １ ２ ×１×|－ a ４ |＝１, ∴ １ ２ ×１× (－ a ４ )＝１或 １ ２ ×１× a ４ ＝１,∴a＝－８或a＝８ ６．已知抛物线y＝x２＋(k＋１)x＋ k－３ ４ ． (１)求证:抛物线与x 轴总有两个不同的交点; (２)设x１,x２ 是此抛物线与x 轴两交点的横坐标,且 满足x１２＋x２２＝k２＋ ５ ２ ,求此抛物线的表达式． 解:(１)∵Δ＝(k＋１)２－４􀅰 k－３ ４ ＝k２＋２k＋１－k＋ ３＝k２＋k＋４＝(k＋ １ ２ )２＋３ ３ ４ ＞０,∴该二次函数 图象与x 轴有两个交点　(２)∵x１＋x２＝－(k＋１), x１x２＝ k－３ ４ , ∴x１２ ＋x２２ ＝ (x１ ＋x２)２ －２x１x２ ＝ k２＋２k＋１－ k－３ ２ ＝k２ ＋ ３k ２ ＋ ５ ２ ,依 题 意 得,x１２ ＋ x２２＝k２＋ ５ ２ ,∴k２＋ ３ ２ k＋ ５ ２ ＝k２＋ ５ ２ ,∴k＝０,故 此抛物线的表达式为y＝x２＋x－ ３ ４ 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀅰７２􀅰 第１章　　　　　　　 $