专题四 二次函数的几何应用-【黄冈金牌之路·练闯考】2020-2021学年九年级下册初三数学（湘教版）教用

专题四　二次函数的几何应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．如图,抛物线y＝x２＋bx＋c 与x 轴交于A(－１,０) 和B(３,０)两点,交y 轴于点E． (１)求此抛物线的表达式; (２)若直线y＝x＋１与抛物线交于 A,D 两点,与y 轴交于点F,连接 DE,求△DEF 的面积． 解:(１)∵抛物线y＝x２＋bx＋c 与 x 轴交于A(－１,０)和B(３,０)两点, ∴ １－b＋c＝０, ９＋３b＋c＝０,{ 解 得 b＝－２, c＝－３,{ 故 抛物线表达式为y＝x２－２x－３　 ( ２ ) 根 据 题 意 得 y＝x２－２x－３, y＝x＋１,{ 解 得 x１＝－１, y１＝０,{ x２＝４, y２＝５,{ ∴D(４,５)．对于直线y＝x＋１,当 x＝０时,y＝１,∴F(０,１)．对 于y＝x２ －２x－３,当 x＝０时,y＝－３,∴E(０,－３),∴EF＝４．过点 D 作 DM ⊥y 轴于点 M ,∴S△DEF ＝ １ ２ EF􀅰DM ＝ １ ２ ×４× ４＝８ ２．如图,在 △ABC 中,∠C ＝９０°,BC ＝５ 米,AC ＝１２ 米,M 点 在 线 段CA 上,从 C 向 A 运 动,速 度 为 １ 米/秒;同时 N 点在线段AB 上,从 A 向B 运动,速 度为２米/秒,运动时间为t秒． (１)当t为何值时,∠AMN ＝∠ANM ? (２)当t 为何值时,△AMN 的面积最大? 并求出这 个最大值． 解:(１)AM ＝１２－t,AN ＝２t, ∵∠AMN ＝ ∠ANM , ∴AM ＝ AN,从而１２－t＝２t．解得t＝４ (２)作NH⊥AC 于H,易证:△ANH∽△ABC．从而有 AN AB ＝ NH BC ,即２t １３ ＝ NH ５ ,∴NH＝ １０ １３ t．从而有S△AMN ＝ １ ２ (１２－t) 􀅰 １０ １３ t＝ － ５ １３ t２ ＋ ６０ １３ t＝ － ５ １３ (t－６)２ ＋ １８０ １３ ．∴当t＝６时,S最大值 ＝ １８０ １３ m２ ３．如图,已知二次函数y＝(x＋２)２ 的图象与x 轴交于 点 A,与y 轴交于点B． (１)求点 A,B 的坐标; (２)求抛物线的对称轴; (３)在对称轴上是否存在一点 P,使以 P,A,O,B 为 顶点的四边形为平行四边形? 若存在,求出 P 点 坐标;若不存在,请说明理由． 解:(１)A(－２,０),B(０,４) (２)x＝－２　(３)存在,P１(－２, ４),P２(－２,－４)．理由:①以OA 和OB 为边可作▱P１AOB,易得 P１(－２,４);②以AB 和OB 为边 可 作 ▱P２ABO, 易 得 P２ ( －２, －４) ４．如图,关于x 的二次函数y＝－x２＋bx＋c 经过点 A (－３,０),点 C(０,３),点 D 为 二 次 函 数 的 顶 点,直 线 DE 为二次函数的对称轴,E 在x 轴上． (１)求抛物线的表达式; (２)直线 DE 上是否存在点P 到AD 的距离与到x 轴的距离相 等,若 存 在 求 出 点 P,若 不 存 在 请 说 明理由． 解:(１) 将 A ( －３,０),C (０,３) 代 入 y ＝ －x２ ＋ bx＋ c, 解 c＝３ －９－３b＋c＝０{ , ∴ b＝－２ c＝３{ ,y＝－x ２－２x＋ ３　(２)存在,①当P１ 在∠DAB 的角平分线上时,作 P１M ⊥AD 于点 M ,设 P１(－１,y１),则 P１M ＝P１D 􀅰sin∠ADP１ 即y１＝(４－y１)􀅰 ５ ５ ,解得y１＝ ５－１ 　②当P２ 在∠DAB 的外角平分线上时,设P２(－１, y２),同理可得,y２＝－ ５－１,∴P２(－１,－ ５－１), P１(－１, ５－１) 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀅰９２􀅰 第１章　　　　　　　 $