专题(一) 巧用抛物线的对称性解题-【黄冈金牌之路·练闯考】2020-2021学年九年级下册初三数学（华东师大版）教用

专题(一)　巧用抛物线的对称性解题 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　类型一　求对称点的坐标 １．如图,已知抛物线与x 轴的一个交点为A(１,０),对称轴 是直线x＝－１,则该抛物线与x 轴的另一个交点的坐 标是(　B　) A．(－２,０) B．(－３,０) C．(－４,０) D．(－５,０) 第１题图 　　　 第２题图 ２．如图,二次函数y＝ax２＋bx＋c 的图象经过点(－１,０)、 (３,０)和(０,２),当x＝２时,y 的值为　２　． ３．如图,在平 面 直 角 坐 标 系 中,菱 形 ABCD 的 三 个 顶 点A、B、D 均在抛物线y＝ax２－４ax＋３(a＜０)上． 若点 A 是抛物线的顶点,点 B 是抛物线与y 轴的交 点,则点 D 的坐标为　(４,３)　． 第３题图 　　　 第４题图 类型二　求二次函数的最值或待定系数 ４．如图,在平面直角坐标系中,二次函数y＝ax２＋c(a ≠０)的图象过正方形 ABOC 的三个顶点A、B、C,则 ac 的值为(　A　) A．－２ B．－１ C．－ ２ D．－ ２ ２ ５．已知二次函数y＝－４x２－８ax－a２＋２a,且当－１≤ x≤１时,y 的最大值为５,求a 的值． 解:∵y＝－４x２－８ax－a２＋２a＝－４(x＋a)２＋３a２ ＋２a,∴其对称轴为直线x＝－a． 当－a≤－１,即a≥１时,则当－１≤x≤１时,y 随x 的增大而减小,∴ 当x＝－１ 时,y 取 最 大 值,∴－４ ×(－１)２＋８a－a２＋２a＝５,解得a＝１或９; 当－１＜－a＜１,即－１＜a＜１时,则当x＝－a 时,y 取最 大值．∴３a２＋２a＝５,解得a＝１(舍去)或－ ５ ３ (舍去); 当－a≥１,即a≤－１时,则当－１≤x≤１时,y 随x 的增大而增大,∴当x＝１时,y 取最大值,∴－４×１２ －８a－a２＋２a＝５,解得a１＝a２＝－３． 综上所述,a 的值为－３或１或９．　 类型三　求二次函数的表达式 ６．如图,已知抛物线y＝－x２＋bx＋c 的对称轴为直线 x＝１,且与x 轴的一个交点为(３,０),求它对应的函 数表达式． 解:∵抛物线y＝－x２＋bx＋c 的对称轴为直线x＝１,与x 轴 的一个交点为(３,０),a＝－１, 则抛 物 线 与 x 轴 的 另 一 个 交 点为 (－１,０), 故 函 数 表 达 式 为y＝－(x＋１)(x－３)＝－x２＋２x＋３． ７．已知抛物线y＝ax２＋bx＋c 的顶点坐标为(－２,８),与 x 轴的两个交点间的距离为４,求此抛物线的函数表 达式． 解:∵抛物线y＝ax２＋bx＋c 的顶点坐标为(－２,８), ∴抛物线的对称轴为直线x＝－２．∵抛物线与x 轴 的两个交点间的距离为４,∴抛物线与x 轴的两个交 点坐标为(－４,０)、(０,０)．设抛物线表达式为y＝ax (x＋４),把(－２,８)代入,解得a＝－２．∴抛物线表达 式为y＝－２x(x＋４),即y＝－２x２－８x． ８．已知二次函数y＝ax２＋bx＋c 中自变量x 和函数值 y 的部分对应值如下表: x 􀆺 －１ ０ １ ２ ３ 􀆺 y 􀆺 １０ ５ ２ １ ２ 􀆺 求该二次函数的函数表达式． 解:由图表可知抛物线y＝ax２＋bx＋c 过 点(１,２), (３,２),求出对称轴为直线x＝２,∴顶点坐标为(２,１), ∴设y＝a(x－２)２＋１,将(１,２)代入可得a＋１＝２, 解得a＝１,∴ 二次函数的 表 达 式 为y＝ (x－２)２ ＋ １＝x２－４x＋５． 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀅰７１􀅰 第２６章　　　　　　　　 类型四　比较函数值的大小 ９．已知二 次 函 数y＝２(x－１)２ ＋m 的 图 象 上 有 三 个 点,坐标分别为 A(２,y１)、B(３,y２)、C(－４,y３),则 y１、y２、y３ 的大小关系是(　D　) A．y１＞y２＞y３ B．y２＞y１＞y３ C．y３＞y１＞y２ D．y３＞y２＞y１ １０．已知抛物线y＝ax２＋bx＋c(a＞０)与x 轴分别交 于(－１,０)、(５,０)两点,当自变量x＝１ 时,函数值 为y１;当x＝３时