专题(五) 二次函数与几何图形综合题-【黄冈金牌之路·练闯考】2020-2021学年九年级下册初三数学（华东师大版）教用

专题(五)　二次函数与几何图形综合题 类型一　三角形与二次函数 １．如图,在坐标系xOy 中,△ABC 是等腰直角三角形, ∠BAC＝９０°,A(１,０),B(０,２),抛物线y＝ １ ２ x２ ＋ bx－２的图象过点C．求抛物线的表达式． 解:过点C 作CD⊥x 轴于点 D, 则 ∠CAD ＋ ∠ACD ＝ ９０°．∵ ∠OBA＋∠OAB＝９０°,∠OAB＋ ∠CAD ＝ ９０°, ∴ ∠OAB ＝ ∠ACD, ∠OBA ＝ ∠CAD．∵ 在 △AOB 与 △CDA 中, ∠OAB ＝ ∠ACD,AB ＝AC, ∠OBA＝∠CAD,∴△AOB≌△CDA(A．S．A．),∴CD＝ OA＝１,AD＝OB＝２,∴OD＝OA＋AD＝３,∴C(３,１)． ∵点C(３,１)在抛物线上,∴１＝ １ ２ ×９＋３b－２,解得b＝ － １ ２ ,∴抛物线的表达式为y＝ １ ２ x２－ １ ２ x－２． ２．(２０１８􀅰宿迁)如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y＝(x－a)(x－３)(０＜a＜３)的图象与x 轴交于点 A、B(点 A 在点B 的左侧),与y 轴交于点D,过其 顶点C 作直线CP⊥x 轴,垂足为 P,连结 AD、BC． (１)求点 A、B、D 的坐标; (２)若△AOD 与△BPC 相似,求a 的值． 解:(１)∵y＝(x－a)(x－３)(０＜a ＜３),∴A(a,０),B(３,０)．当x＝０ 时,y＝３a,∴D(０,３a)． (２)易知C( ３＋a ２ ,－( ３－a ２ )２),PB ＝３－ ３＋a ２ ,PC＝( ３－a ２ )２, ①若△AOD∽△BPC 时,则 AO BP ＝ DO CP ,即 a ３－ ３＋a ２ ＝ ３a (３－a ２ )２ ,解得a＝±３(舍去); ②若△AOD∽△CPB 时,则 AO CP ＝ DO PB ,即 a (３－a ２ )２ ＝ ３a ３－ ３＋a ２ ,解得a＝３(舍去)或a＝ ７ ３ ,∴a 的值是 ７ ３ ． ３．(２０１８􀅰资阳)已知:如图,抛物线y＝ax２＋bx＋c 与 坐标轴分别交于点A(０,６)、B(６,０)、C(－２,０),点 P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点． (１)求抛物线的表达式; (２)当点 P 运动到什么位置时,△PAB 的面积有最 大值? (３)过点 P 作x 轴的垂线,交线段 AB 于点D,再过 点 P 作PE∥x 轴交抛物线于点E,连结 DE,请 问是否存在点 P 使 △PDE 为等腰直角三角形? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由． 解:(１)设抛物线的表达式为y＝ a(x－６)(x＋２),将点A(０,６)代 入,得 －１２a＝６,解 得a＝ － １ ２ , ∴抛物线表达式为y＝－ １ ２ x２＋ ２x＋６． (２)如图①,过点P 作PM ⊥OB 于点 M ,交AB 于点 N,作AG ⊥PM 于 点G, 易 得 直 线 AB 的 表 达 式 为 y＝－x＋６,设P(t,－ １ ２ t２＋２t＋６),其中０＜t＜６,则N (t,－t＋６),∴PN ＝PM －MN ＝ － １ ２ t２ ＋２t＋６－ (－t＋６)＝ － １ ２ t２＋３t,∴S△PAB ＝S△PAN ＋S△PBN ＝ １ ２ PN􀅰AG＋ １ ２ PN 􀅰BM ＝ １ ２ PN 􀅰 (AG＋BM )＝ １ ２ PN􀅰OB＝ １ ２ ×(－ １ ２ t２＋３t)×６＝－ ３ ２ t２＋９t＝ － ３ ２ (t－３)２＋ ２７ ２ ,∴当t＝３时,即P 为(３, １５ ２ ),△PAB 的面积有最大值． (３)如图 ②,若 △PDE 为等腰直角三角形,则 PD ＝ PE,设P 的横坐 标 为a,∴PD ＝ － １ ２ a２ ＋２a＋６－ (－a＋６)＝－ １ ２ a２＋３a,PE＝２|２－a|,∴－ １ ２ a２＋ ３a＝２|２－a|,解得a＝４或a＝５－ １７,∴P(４,６) 或P(５－ １７,３ １７－５)． 　　　　　　图①　　　　　　图② 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀅰９２􀅰 第２６章　　　　　　　　 类型二　平行四边形与二次函数 ４