专题(七) 探究圆的图形变化规律-【黄冈金牌之路·练闯考】2020-2021学年九年级下册初三数学（华东师大版）教用

专题(七)　探究圆的图形变化规律 类型一　探究从锐角到钝角的图形变化规律 １．如图,AD 是☉O 的内接△ABC 的高,AE 是☉O 的 直径． (１)如图①,求证:AB􀅰AC＝AD􀅰AE; (２)若∠ACB 为钝角,如图②,其他条件不变,求证: AB􀅰AC＝AD􀅰AE． 　　　　　　图①　　　　　　图② 证明:(１)连结BE,∵AE 是☉O 的直径,∴∠ABE＝ ９０°．又∵AD 是 △ABC 的 高,∴ ∠ABE＝ ∠ADC．∵ ∠ACD＝∠AEB,∴ △ABE∽ △ADC,∴ AB AD ＝ AE AC , ∴AB􀅰AC＝AD􀅰AE． (２) 连 结 BE, 同 理 可 得 ∠ABE＝ ∠ADC, ∵ 四 边 形 ACBE 是☉O 的内接四边形,∴∠E＋∠ACB＝１８０°． ∵∠ACD＋∠ACB＝１８０°,∴∠E＝∠ACD, ∴△ABE∽△ADC,∴ AB AD ＝ AE AC ,∴AB􀅰AC＝AD􀅰AE． ２．如图 ①,在 △ABC 中,AB ＝AC,以 AB 为 直 径 的 ☉O 交BC 于D,交直线 AC 于E,连结BE． (１)试判断∠BAC 与∠CBE 的关系,并说明; 解:∠BAC＝２∠CBE, 连 结 AD, ∵ AB 是 ☉O 的 直 径, ∴ ∠ADB ＝ ∠BEC＝９０°．又∵AB＝AC, ∴ ∠ABC ＝ ∠C, ∠BAD ＝ ∠CAD, ∴ ∠BAD ＝ ∠CBE, ∴ ∠BAC ＝２ ∠BAD＝２∠CBE． (２)如 图 ②,若 ∠BAC 为 钝 角,其 余 条 件 不 变,则 ∠BAC 与∠CBE 之 间 又 有 何 关 系? 试 画 图 并 证明． 解: ∠BAC ＝２∠CBE, 连 结 AD,∵AB 是 ☉O 的 直 径,∴ ∠E ＝ ∠ADC ＝ ９０°, ∴ ∠CBE＝ ∠DAC, 又 ∵AB＝ AC, ∴ ∠BAD ＝ ∠CAD, ∴ ∠BAC＝２∠CAD＝２∠CBE． 类型二　探究点的位置改变时图形的变化规律 ３．小明学习了垂径定理,做了下面的探究． (１)如 图 ①,在 ☉O 中,C 是 劣 弧 AB 的 中 点,直 线 CD⊥AB 于点E,求证:AE＝BE; (２)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线,称 为该圆的一条折弦．如图②,PA、PB 组成☉O 的 一条折弦,C 是劣弧AB 的中点,直线 CD ⊥PA 于点E,求证:AE＝PE＋PB; (３)如图③,PA、PB 组 成 ☉O 的 一 条 折 弦,若 C 是 优弧AB 的中点,直线CD⊥PA 于点E,则 AE、 PE 与 PB 之 间 存 在 怎 样 的 数 量 关 系? 写 出 结 论,不必证明． 　　　　图①　　 　　图②　　　 　图③ 解:(１)证明:连结AD、BD,∵C 是劣弧AB 的中点, ∴∠CDA＝∠CDB,∴ △ADB 为 等 腰 三 角 形．∵CD ⊥AB,∴AE＝BE． (２)延长 DB、AP 相交于点F,再连结 AD,∵四边形 ADBP 是圆内接四边形,∴∠PBF＝∠PAD．∵C 是 劣弧AB 的中点,∴∠CDA＝∠CDF．又∵CD⊥PA, ∴△AFD 为等腰三角形,∴∠F＝∠A,AE＝EF,∴ ∠PBF＝∠F,∴PB＝PF,∴AE＝PE＋PB． (３)AE＝PE－PB． 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀅰３４􀅰 第２７章　　　　　　　　 $