专题(八) 常用的圆的切线证明方法-【黄冈金牌之路·练闯考】2020-2021学年九年级下册初三数学（华东师大版）教用

专题(八)　常用的圆的切线证明方法 类型一　有交点,连半径,证垂直 １．如图,AB 是☉O 的直径,C 是☉O 上一点,D 在AB 的延长 线 上,且 ∠BCD ＝ ∠A．求 证:CD 是 ☉O 的 切线． 证明:连结OC．∵AB 是☉O 的 直 径,C 是 ☉O 上 一 点, ∴∠ACB＝９０°,即∠ACO＋ ∠OCB ＝９０°．∵OA ＝OC, ∠BCD＝∠A,∴ ∠ACO＝ ∠A＝ ∠BCD, ∴ ∠BCD ＋∠OCB＝９０°,即∠OCD＝９０°,∴CD 是☉O 的切线 ２．如图,△ABC 内接于 ☉O,∠B＝６０°,CD 是 ☉O 的 直径,点 P 是CD 延长线上的一点,且 AP＝AC．求 证:PA 是☉O 的切线． 证明:连结OA,∵∠B＝６０°, ∴∠AOC＝１２０°,∴ ∠AOP＝ ６０°．∵OA＝OC,∴∠OAC＝ ∠ACP＝ １ ２ ∠AOP＝３０°．又 ∵AP＝AC,∴∠P＝∠ACP＝３０°∴∠PAO＝９０°,∴ OA⊥AP,∴PA 是☉O 的切线 ３．(２０１８􀅰宿迁)如 图,AB、AC 分 别 是 ☉O 的 直 径 和 弦,OD⊥AC 于点D．过点 A 作☉O 的切线与OD 的 延长线交于点 P,PC、AB 的延长线交于点F． (１)求证:PC 是☉O 的切线; (２)若∠ABC＝６０°,AB＝１０,求线段CF 的长． 解:(１)证明:连 结 OC,∵OD ⊥AC, OD 经过圆心O,∴AD＝CD,∴PA ＝PC．又∵OA＝OC,OP＝OP, ∴ △OAP ≌ △OCP, ∴ ∠OCP ＝ ∠OAP＝９０°．即 OC⊥PC, ∴PC 是 ☉O 的切线． (２)∵OB＝OC,∠OBC＝６０°,∴△OBC 是等边三角形, ∴∠COB＝６０°．∵AB＝１０,∴OC＝５,由(１)知∠OCF＝ ９０°,∴CF＝OC􀅰tan∠COB＝５３． ４．如图,△ABC 内接于☉O,AB 为☉O 的直径,BD ⊥ AB,交 AC 的延长线于点D． (１)点 E 为BD 的 中 点,连 结 CE,求 证:CE 是 ☉O 的切线; (２)若 AC＝３CD,求∠A 的大小． 解:(１) 证 明: 连 结 OC, ∵OA ＝ OC,∴ ∠A ＝ ∠１．∵AO ＝OB,E 为BD 的中点,∴OE∥AD,∴∠１ ＝∠３,∠A＝∠２,∴∠２＝∠３,在 △COE 与 △BOE 中,OC ＝OB, ∠２＝∠３,OE＝OE,∴△COE≌△BOE(S．A．S．),∴ ∠OCE＝∠OBE,又 ∵BD ⊥AB,∴ ∠OBE＝９０°．∴ ∠OCE＝９０°,∴OC⊥CE,∴CE是☉O 的切线 (２)∵AB 为☉O 的直径,∴BC⊥AD．∵AB⊥BD,∴ △ABC∽△BDC,∴ BC AC ＝ CD BC ,∴BC２＝AC􀅰CD．∵ AC＝３CD,∴BC２＝ １ ３ AC２,∴tan∠A＝ BC AC ＝ ３ ３ ,∴ ∠A＝３０°． ５．(２０１８􀅰咸宁)如图,以△ABC 的边AC 为直径的☉O 恰 为△ABC 的外接圆,∠ABC 的平分线交☉O 于点D,过 点D 作DE∥AC 交BC 的延长线于点E． (１)求证:DE 是☉O 的切线; (２)若 AB＝２ ５,BC＝ ５,求 DE 的长． 解:(１)证明:连结 OD,∵AC 是☉O 的直径,∴ ∠ABC＝９０°．∵BD 平 分 ∠ABC, ∴ ∠ABD ＝４５°, ∴ ∠AOD ＝９０°, ∵ DE ∥ AC, ∴ ∠ODE ＝ ∠AOD＝９０°,∴DE 是☉O 的切线． (２) 在 Rt△ABC 中,AB ＝２ ５,BC ＝ ５, ∴AC ＝ AB２＋AC２ ＝５,∴OD＝ ５ ２ ,过点C 作CG⊥DE,垂 足为G,则四边形ODGC 为正方形,∴DG＝CG＝OD ＝ ５ ２ ．∵DE∥AC,∴ ∠CEG＝ ∠ACB,∴tan∠CEG＝ tan∠ACB,∴ CG GE ＝ AB BC ,即２．５ GE ＝ ２ ５ ５ ,解得GE＝ ５ ４ ,∴ DE＝DG＋GE＝ １５ ４ ． 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀅰２５􀅰 　　　　　　　九年级数学（下）（配华师地区使用） 类