专题(九) 圆中常见的辅助线-【黄冈金牌之路·练闯考】2020-2021学年九年级下册初三数学（华东师大版）教用

专题(九)　圆中常见的辅助线 类型一　遇弦添加弦心距或半径 １．如图,☉O 的直径AB＝１２,CD 是 ☉O 的弦,CD ⊥ AB,垂足 为 P,且 BP∶AP ＝１∶５,则 CD 的 长 为 (　D　) A．４ ２　　　B．８ ２　　　C．２ ５　　　D．４ ５ 第１题图 　　 第２题图 ２．如图,☉O 的半径是３,点 P 是弦AB 延长线上的一 点,连结OP．若OP＝４,∠APO＝３０°,则弦 AB 的长 是(　A　) A．２ ５ B．５ C．２ １３ D．１３ ３．(２０１８􀅰海南)如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐 标是 (２０,０),点 B 的 坐 标 是 (１６,０),点 C、D 在 以 OA 为直径的半圆 M 上,且四边形 OCDB 是平行四 边形,则点C 的坐标为　(２,６)　． 第３题图 　　　 第４题图 类型二　遇直径构造直径所对的圆周角 ４．如 图,若 AB 是 ☉O 的 直 径,CD 是 ☉O 的 弦, ∠ABD＝５５°,则∠BCD 的度数为(　A　) A．３５° B．４５° C．５５° D．７５° ５．如图,AD 是☉O 的直径,若☉O 的半径为 ３ ２ ,AC＝ ２,则sinB 的值是(　B　) A． ３ ２ B． ２ ３ C． ３ ４ D． ４ ３ 第５题图 　　　　 第６题图 ６．(２０１８􀅰 咸宁)如 图,已 知 ☉O 的 半 径 为 ５,弦 AB, CD 所 对 的 圆 心 角 分 别 是 ∠AOB,COD,若 ∠AOB 与∠COD 互补,弦CD＝６,则弦 AB 的长为(　B　) A．６ B．８ C．５ ２ D．５ ３ ７．如图,四边形 ABCD 内接于☉O,并且 AD 是☉O 的 直径,C 是弧BD 的中点,AB 和DC 的延长线交☉O 外一点E．求证:BC＝EC． 证明:连结 AC．∵AD 是 ☉O 的 直径,∴∠ACD＝∠ACE＝９０°． ∵四边形ABCD 内接于☉O,∴ ∠D ＋ ∠ABC ＝ １８０°．又 ∵ ∠ABC ＋ ∠EBC ＝ １８０°, ∴ ∠EBC＝ ∠D．∵ 点 C 是 弧BD 的中点, ∴ ∠EAC ＝ ∠CAD, ∴ ∠EAC ＋ ∠E ＝ ∠CAD＋∠D＝９０°,∴∠E＝∠D,∴∠EBC＝∠E, ∴BC＝EC． ８．(２０１８􀅰衢州)如图,已知 AB 为☉O 直径,AC 是☉O 的切线,连结BC 交☉O 于点F,取BF ︵ 的中点 D,连 结AD 交BC 于点E,过点E 作EH⊥AB 于 H． (１)求证:△HBE∽△ABC; (２)若CF＝４,BF＝５,求 AC 和EH 的长． 解:(１)证明:∵AC 是☉O 的切线,∴ CA⊥AB．∵EH ⊥AB, ∴ ∠EHB ＝ ∠CAB．∵ ∠EBH ＝ ∠CBA, ∴ △HBE∽△ABC． (２) 连 结 AF, ∵ AB 是 直 径, ∴ ∠AFB＝９０°．∵∠C＝∠C,∠CAB＝ ∠AFC,∴△CAF∽△CBA,∴CA２＝CF􀅰CB＝３６, ∴CA ＝ ６, AB ＝ BC２－AC２ ＝ ３ ５, AF ＝ AB２－BF２ ＝ ２ ５．∵ DF ︵ ＝ BD ︵, ∴ ∠EAF ＝ ∠EAH．∵EF⊥AF,EH ⊥AB,∴EF＝EH．∵AE＝ AE,∴Rt△AEF≌Rt△AEH,∴AF＝AH ＝２ ５,设 EF＝EH ＝x,在 Rt△EHB 中,(５－x)２＝x２＋( ５)２, ∴x＝２,∴EH＝２． 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀅰４５􀅰 　　　　　　　九年级数学（下）（配华师地区使用） 类型三　遇切线连过切点的半径 ９．如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB＝９０°,以 AC 为直 径 作☉O 交AB 于点D,E 为BC 的中点,连结 DE 并 延长交AC 的延长线于点F． (１)求证:DE 是☉O 的切线; (２)若CF＝２,DF＝４,求☉O 直径的长． 解:(１) 证 明:连 结 OD,CD, ∵AC 为 ☉O 的 直 径, ∴ △BCD 是 直 角 三 角 形．∵E 为BC 的中点,∴BE＝CE＝ DE, ∴ ∠CDE ＝ ∠DCE．∵ OD＝OC, ∴ ∠ODC ＝ ∠