专题(十) 圆与相似三角形-【黄冈金牌之路·练闯考】2020-2021学年九年级下册初三数学（华东师大版）教用

专题(十)　圆与相似三角形 类型一　圆周角与相似三角形 １．如图,在 ☉A 中,点 B 是 弦CD、EF 的 交 点,求 证: BC􀅰BD＝BF􀅰BE． 证明:连 结 CF,DE,∵ ∠C＝ ∠E, ∠F＝ ∠D,∴ △CBF∽ △EBD,∴ BC BE ＝ BF BD ,∴BC􀅰BD＝BF􀅰BE． ２．如图,在☉A 的直径,点D 在☉A 上,DE⊥BC 于点E． 求证:DE２＝CE􀅰BE． 证明: 连 结 BD,CD,∵BC 是 ☉A 的直径,∴∠BDC＝９０°,∴∠CDE ＋∠BDE ＝９０°, ∵ ∠B ＋ ∠BDE ＝９０°, ∴ ∠B ＋ ∠BDE ＝９０°, ∴ ∠B＝∠CDE, ∵ ∠BED ＝ ∠CED ＝９０°, ∴ △BED ∽△DEC,∴ CE DE ＝ DE BE ,∴DE２＝CE􀅰BE． ３．如图,AC 是☉O 的直径,弦BD 交AC 于点E． (１)求证:△ADE∽△BCE; (２)如果 AD２＝AE􀅰AC,求证:CD＝CB． 证明:(１)∠A 与∠B 是CD ︵ 所 对的 圆 周 角, ∴ ∠A ＝ ∠B．又 ∵∠BEC＝ ∠AED,∴ △ADE ∽△BCE． (２)∵AD２＝AE􀅰AC,∴ AE AD ＝ AD AC ．又∵∠A＝∠A,∴△ADE∽△ACD, ∴∠AED＝∠ADC． 又∵AC 是☉O 的直径,∴∠ADC＝９０°,即∠AED＝ ９０°,∴直径AC⊥BD,∴CD＝CB． 类型二　切线与相似三角形 ４．(２０１７􀅰乌鲁木齐)如 图,AB 是 ☉O 的 直 径,CD 与 ☉O 相切于点C,与 AB 的延长线交于D． (１)求证:△ADC∽△CDB; (２)若 AC＝２,AB＝ ３ ２ CD,求☉O 半径． (１)证明:连结CO,∵CD 与 ☉O 相 切 于 点C, ∴ ∠OCD ＝９０°,∵AB 是☉O 的直径, ∴∠ACB＝９０°,∴∠ACO＝ ∠BCD,∵∠ACO＝∠CAD, ∴∠CAD＝ ∠BCD, ∵ ∠CAD ＝ ∠BCD, ∠ADC ＝ ∠CDB,∴△ADC∽△CDB． (２)设 CD 为x, 则 AB ＝ ３ ２ x,OC ＝OB ＝ ３ ４ x, ∵ ∠OCD＝９０°,∴OD＝ OC２＋CD２ ＝ ( ３ ４ x)２＋x２ ＝ ５ ４ x,∴BD＝OD－OB＝ ５ ４ x－ ３ ４ x＝ １ ２ x,由 (１) 知,△ADC∽△CDB,∴ AC CB ＝ CD BD ,即 ２ CB ＝ x １ ２ x ,解得 CB＝１,∴AB＝ AC２＋BC２ ＝ ５,∴☉O 半径是 ５ ２ ． ５．(２０１８􀅰遂宁)如图,过☉O 外一点P 作☉O 的切线 PA 切☉O 于点A,连结 PO 并延长,与☉O 交于C、 D 两点,M 是半圆CD 的中点,连结 AM 交CD 于点 N ,连结 AC、CM ． (１)求证:CM２＝MN 􀅰MA; (２)若∠P＝３０°,PC＝２,求CM 的长． 解:(１)∵☉O 中,点 M 是半圆 CD 的 中 点, ∴CM ︵ ＝DM ︵, ∴ ∠CAM ＝ ∠DCM , 又 ∵ ∠CMA ＝ ∠NMC, ∴ △AMC ∽ △CMN, ∴ CM MN ＝ AM CM , 即 CM２＝MN􀅰MA． (２)连结OA、DM ,∵PA 是☉O 的切线,∴∠PAO＝ ９０°,又∵∠P＝３０°,∴OA＝ １ ２ PO＝ １ ２ (PC＋CO),设 ☉O 的半径为r,∵PC＝２,∴r＝ １ ２ (２＋r),解得:r ＝２,又∵CD 是直径,∴∠CMD＝９０°,∵CM ＝DM , ∴△CMD 是等腰直角三角形,∴在 Rt△CMD 中,由 勾股定理得CM２＋DM２＝CD２,即２CM２＝(２r)２＝ １６,则CM２＝８,∴CM ＝２ ２． 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀅰６５􀅰 　　　　　　　九年级数学（下）（配华师地区使用） $