专题(十一) 平面图形滚动问题及不规则图形面积的求法-【黄冈金牌之路·练闯考】2020-2021学年九年级下册初三数学（华东师大版）教用

专题(十一)　平面图形滚动问题及不规则图形面积的求法 类型一　平面图形的滚动问题 １．如图,在直角坐标系 中 放 置 一 个 边 长为１的正方形 ABCD,将正方形 ABCD 沿x 轴 的 正 方 向 无 滑 动 地 在x 轴上滚动,当点 A 离开原点后 第一次落在x 轴上时,点 A 运动的路径线与x 轴围 成图形的面积为(　C　) A． π ２ ＋ １ ２ B． π ２ ＋１ C．π＋１ D．π＋ １ ２ ２．如图,矩形 ABCD 中,AB＝４,BC＝３,边CD 在直线 l 上,将矩形 ABCD 沿直线l 作无滑动翻滚,当点 A 第一次翻滚到点A１ 位置时,点 A 经过的路线长 为 　６π　． ３．已知一个圆心角为 ２７０°的扇形工件,未搬动前如图 所示,A,B 两点触地放置,搬动时,先将扇形以 B 为 圆心,作如图所示的无滑动翻转,再使它紧贴地面滚 动,当 A,B 两 点 再 次 触 地 时 停 止．若 半 圆 的 半 径 为 ３m,则圆心O 所经过的路线长是　６π　m．(结果保 留π) ４．如图,半径为 ５ 的半圆的初始 状 态 是 直 径 平 行 于 桌 面上的直线b,然 后 把 半 圆 沿 直 线b 进 行 无 滑 动 滚 动,使半圆的直径与直线b 重合为止,求圆心 O 运动 路径的长． 解:如图,圆心先向前走OO１ 的长 度, 从 O 到O１ 的 运 动 轨迹 是 一 条 直 线,长 度 为 １ ４ 圆的周长,然后沿着弧 O１O２ 旋转 １ ４ 圆的周长,则圆 心O 运动路径的长为 １ ４ ×２π×５＋ １ ４ ×２π×５＝５π． ５．如图,把 Rt△ABC 的斜边AB 放在直线l 上按顺时 针方向在l 上转动两次,使它转动到三角形 A″B′C′ 的位置．若BC＝１,AC＝ ３,当顶点 A 运动到点A″ 的位置时, (１)求点 A 所经过的路线长; (２)求点 A 所经过的路线与l 所围成的图形的面积． 解:点 A 所经过的路 线 图 略 (１) 在 Rt△ABC 中,AB ＝ AC２＋BC２ ＝２,∴∠BAC＝３０°,则 ∠ABC＝６０°, ∴ ∠ABA′ ＝ １２０°, ∴ AA′ ︵ 的 长 为 １２０π×２ １８０ ＝ ４π ３ , 又 ∵ ∠A′C′A″＝９０°, ∴A′A″ 􀮣 􀮥􀪁􀪁 的 长 为 ９０π× ３ １８０ ＝ ３ ２ π,∴点A 所经过的路线长为 ４ ３ π＋ ３ ２ π． (２)S扇形BAA′＝ １ ２ × ４π ３ ×２＝ ４ ３ π,S扇形C′A′A″ ＝ １ ２ × ３π ２ × ３＝ ３π ４ ,S△A′BC′＝ １ ２ ×１× ３＝ ３ ２ ,∴点A 经过的 路线与l所围成的图形的面积是 ４ ３ π＋ ３ ４ π＋ ３ ２ ＝ ２５ １２ π＋ ３ ２ ． 类型二　求不规则图形面积的方法技巧 方法１．凑整法 ６．如图,三个小正方形的边长都为１,则图中阴影部分 面积的和是(　B　) A． ３π ４ 　　　B． ３π ８ 　　　C． ３π ２ 　　　D． ３π １６ 第６题图 　　 第７题图 ７．如图,某校教学楼前有一花坛,花坛由五边形 ABCＧ DE 和５个圆心分别在五边形 ABCDE 的顶点上的 圆组合而成,☉A、☉B、☉C、☉D、☉E 是等圆且相 互外离,它们的半径都是１米．现要在阴影部分种植 月季,则种植月季的面积之和为 　 ３ ２ π　平方米． 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀅰１６􀅰 第２７章　　　　　　　　 方法２．覆盖法 ８．如图,正方形 ABCD 中,分别以 B,D 为圆心,以 正 方形的边长a 为半径画弧,形成树叶形(阴影部分) 图案,则树叶形图案的面积为(　A　) A．( π ２ －１)a２ B．(１－ π ２ )a２ C． １ ２ a２ D． １ ４ πa２ ９．如图,AB 为半圆O 的直径,C 为AO 的中点,CD ⊥ AB 交半圆于点D,以 C 为圆心,CD 长为半径画弧 交AB 于点E,若 AB＝４cm,求图中阴影部分面积． 解: 连 结 OD, ∵AC ＝CO ＝ １ ２ OD＝１cm, ∠OCD ＝９０°, ∴ ∠CDO