第1讲 平面向量（1）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册培优课程训练（学生版+教师版）

一、基础知识 向量的概念及其表示、向量的模、零向量、平行向量、相等向量、相反向量、向量的夹角、共线定理 二、典型例题 1.已知线段AB的长度为2，点A,B分别在的非负半轴和的非负半轴上滑动，以线段AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD，BC=1，O为坐标原点，求的取值范围。 解：如右图。 如图令，由于，所以。 如图，所以 同理可求得，即， 的最大值是3，最小值是1. 综上，的取值范围是。 2.设点在的内部，且有，求与的面积比。 解： 作向量，得平行四边形，如图所示。 其中， 所以，即三点共线，。 设，根据等高的三角形面积之比恰是底边之比，得：。 根据平行四边形对称性，得：。 因此，，根据同底三角形面积之比等于高之比，得： 综上可得：。 与的面积比3. 3.空间4点A,B,C,D满足，求的值。 解： 观察的展开式，得： 即： 4.在平行四边形中，若,求该四边形各内角的度数。 解： 化简得：，即 解得：，所以 若，则； 若，则。 5.设I为△ABC的内心，当AB=AC=5,BC=6时，，试求实数，的值。 解：设D是BC的中点，因为AB=AC=5,BC=6,所以△ABC是等腰三角形，BD=DC=3. 又因为I是△ABC的内心，所以BI是ABC的角平分线。 根据内角平分线的性质可得：. 所以， 则 根据平面向量基本定理可得： 6.已知△ABC，过重心G的直线交边AB于P，交边AC于Q，设△APQ的面积为，△ABC的面积为， （1） 求的值；（2）求的取值范围； 解：设由G是△ABC的重心，可知： 因为共线，所以，即 则 （1）因为，故。 （2）因为，则， 易知，所以。 $一、基础知识 向量的概念及其表示、向量的模、零向量、平行向量、相等向量、相反向量、向量的夹角、共线定理 二、典型例题 1.已知线段AB的长度为2，点A,B分别在的非负半轴和的非负半轴上滑动，以线段AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD，BC=1，O为坐标原点，求的取值范围。 2.设点在的内部，且有，求与的面积比。 3.空间4点A,B,C,D满足，求的值。 4.在平行四边形中，若,求该四边形各内角的度数。 5.设I为△ABC的内心，当AB=AC=5,BC=6时，，试求实数，的值。 6.已知△ABC，过重心G的直线交边AB于P，交边AC于Q，设△APQ的面积为，△ABC的面积为， （1） 求的值；（2）求的取值范围； $