第一章 ６ 利用三角函数测高-【黄冈金牌之路·练闯考】2020-2021学年九年级下册初三数学（北师大版）教用

６　利用三角函数测高 利用三角函数测高: (１)利用　直角三角形　的边角关系可测量物体的高 度,测量倾斜角可以用　测倾器　． (２)测量底部可以到达的物体的高度时,所得到的数学模型 如图①,这时物高h满足关系式h＝　l􀅰tanα＋a　． 图① 　 图② (３)测量底部不可以到达的物体的高度时,所得到的数 学模型如图②所示,这时物高h 满足关系式　(h－ a)( １tanα－ １ tanβ )＝b　． 练习:如图,为了测量一垂直于 水平地面的某建筑物 AB 的 高度,一 测 量 人 员 在 该 建 筑 物附近的C 处测得建筑物顶 端A 处的仰角为４５°,随后沿直线 BC 向前走了１００ 米后到达D 处,在D 处测得A 处的仰角为３０°,则建 筑物 AB 的高度约为　１３７　米．(注:不计测量人员 的身高,结果按四舍五入保留整数．参考数据:２≈ １．４１,３≈１．７３) 知识点一:测量底部可以到达的物体的高度 １．如图,小明测自己前面大树的高时,测得树顶的仰角 为３０°,眼睛距地面１．５m,此时距树５m,则这棵树 高　(５３ ３＋ ３ ２ )　m． 第１题图 　　 第２题图 ２．如 图 ,在 数 学 活 动 课 中 ,小 敏 为 了 测 量 校 园 内 旗 杆 AB 的 高 度 ,站 在 教 学 楼 的 C 处 测 得 旗 杆 底 端 B 的 俯 角 为 ４５°,测 得 旗 杆 顶 端 A 的 仰 角 为 ３０°, 若 旗 杆 与 教 学 楼 的 距 离 为 ９ m,则 旗 杆 AB 的 高 度 是 　(３ ３＋９)　m．(结果保留根号) ３．如图,一枚运载火箭从距雷达站C 处５km 的地面O 处发射,当火箭到达点 A,B 时,在雷达站 C 处测得 点A,B 的仰角分别为３４°,４５°,点 O,A,B 在同一条 直线 上,求 A,B 两 点 间 的 距 离．(结 果 精 确 到 ０．１km,参 考 数 据:sin３４°≈０．５６,cos３４°≈０．８３, tan３４°≈０．６７) 解:由题意可得∠AOC＝９０°,OC ＝５km．在 Rt△AOC 中,OA＝ OC􀅰tan３４°≈３．３５ (km), 在 Rt△BOC中,∠BCO＝４５°,∴OB ＝OC＝５ (km),∴AB＝５－３．３５≈１．７( km)． 知识点二:测量底部不可以到达的物体的高度 ４．如图,山顶有一座电视塔,在地面上一点 A 处测得 塔顶B 处的仰角α＝６０°,在塔底C 处测得A 点的俯 角β＝４５°,已知塔高６０米,则山高CD 等于 (A ) A．３０(１＋ ３)米 B．３０(３－１)米 C．３０米 D．(３０ ３＋１)米 ５．如图,游客在点A 处坐缆车出发,沿A－B－D 的路线 可至山顶D 处,假设 AB 和BD 都是直线段,且 AB＝ BD＝６００m,α＝７５°,β＝４５°,求 DE 的长．(参 考 数 据: sin７５°≈０．９７,cos７５°≈０．２６,２≈１．４１) 解:在 Rt△ABC 中,∵AB＝６００m,∠ABC＝７５°．∴ BC＝AB 􀅰cos７５°≈６００×０．２６＝１５６(m)．在 Rt△BDF中,∵∠DBF＝４５°,∴DF＝BD􀅰sin４５°＝ ６００× ２２≈３００×１．４１＝４２３ (m)．∵四边形BCEF 是 矩形,∴EF＝BC＝１５６m．∴DE＝DF＋EF＝４２３＋ １５６＝５７９m．因此 DE 的长为５７９m． 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀅰９１􀅰 第一章　　　　　　　 ６．如图,在楼房 AB 和塔CD 之间有一棵树EF,从楼 顶 A 处经过树顶E 点恰好看到塔的底部D 点,且俯 角α为４５°,从离楼底B 点１米的P 点处经过树顶E 点恰好看到塔的顶部 C 点,且仰角β 为３０°,已知树 高EF＝６米,求塔CD 的高度．(结果保留根号) 解:过点P 作PG⊥CD 于 点G,交 EF 于点H．由题 意 可 得 ∠EDB ＝ ∠α ＝ ４５°,PB＝HF＝GD＝１m． ∵EF ＝６ m, ∴ EH ＝ ５ (m)．在 Rt△EPH 中, ∠β＝３０°,EH＝５m,∴PH＝ １ tanβ 􀅰EH＝５ ３