第一章 专题(二) 解直角三角形中的数学思想-【黄冈金牌之路·练闯考】2020-2021学年九年级下册初三数学（北师大版）教用

专题(二)　解直角三角形中的数学思想 一、数形结合思想 １．如图,△ACB 中,∠ACB＝９０°．已知∠B＝α,∠ADC ＝β,AB＝a,则BD 的长可表示为 (C ) A．a􀅰(cosα－cosβ) B． atanβ－tanα C．acosα－a 􀅰sinα tanβ D．a􀅰cosα－asinα􀅰a􀅰tanβ ２．如图所示,在△ABC 中,AD⊥BC 于点D,CE⊥AB 于点E,且BE＝２AE．已知 AD＝３ ３,tan∠BCE＝ ３ ３ ,那么CE 等于 (D ) A．２ ３　　B．３ ３－２　　C．５ ２　　D．４ ３ 第２题图 　　　 第３题图 ３．如图,在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,点 D 是AB 的中 点,ED⊥AB 交AC 于点E．设∠A＝α,且tanα＝１３ , 则tan２α＝　３４　． ４．(２０１８􀅰无锡)已知 △ABC 中,AB＝１０,AC＝２ ７, ∠B＝３０°,则△ABC 的面积等于　１５ ３或１０ ３　． ５．如图,C 地在A 地的正东方向,因有大山阻隔,由 A 地到C 地需绕行到B 地,已知B 地位于A 地北偏东 ６７°方向,距 离 A 地 ５２０km,C 地 位 于B 地 南 偏 东 ３０°方向,若打通穿山隧道,建成两地直达高铁,求 A 地到C 地之间的高铁线路的长．(结果保留整数,参 考 数 据:sin６７°≈ １２１３ ,cos６７°≈ ５１３ ,tan６７°≈ １２５ , ３≈１．７３) 解:过 点 B 作 BD ⊥AC 于 点 D, 由 题 意 得 ∠ABD ＝ ６７°,∴AD＝AB􀅰sin６７°≈ ５２０×１２１３＝４８０ (km),BD＝ AB􀅰cos６７°≈５２０× ５１３＝２００ (km)．∵∠CBD＝３０°, ∴CD＝BD􀅰tan３０°＝２００ ３３ (km)．∴AC＝AD＋CD ＝４８０＋２００ ３３ ≈５９５ (km),∴A 地到C 地之间的高 铁线路的长为５９５km． 二、方程思想 ６．如图,某数 学 兴 趣 小 组 要 测 量 一 栋 五 层 居 民 楼 CD 的高度,该楼底层为车库,高２．５米;上面五层居住, 每层高度相等,测角仪支架离地１．５米,在A 处测得 五楼顶部点 D 的仰角为 ６０°,在 B 处测得四楼顶点 E 的仰角为３０°,AB＝１４米,求居民楼的高度．(精确 到０．１米,参考数据:３≈１．７３) 解: 设 每 层 楼 高 为 x 米, 由 题意 得 MC′＝MC－CC′＝ ２．５－１．５＝１(米),∴DC′＝ (５x＋１) 米,EC′＝ (４x＋ １)米． 在 Rt△DC′A′中,∠DA′C′＝６０°, ∴C′A′＝ DC′tan６０°＝ ３ ３ (５x＋１)米,在 Rt△EC′B′中, ∠EB′C′＝３０°, ∴C′B′＝ EC′tan３０°＝ ３ (４x＋１) 米． ∵A′B′＝C′B′－C′A′＝AB,∴ ３(４x＋１)－ ３３ (５x＋１)＝ １４,解得x≈３．１７,则居民楼的高为５×３．１７＋２．５≈ １８．４(米)． ７．如图,飞机在一定高度上沿水平直线飞行,先在点 A 处测得正前方小岛C 的俯角为３０°,面向小岛方向继 续飞行１０km 到达B 处,发现小岛在其正后方,此时 测得小岛的俯角为４５°,如果小岛高度忽略不计,求飞 机飞行的高度．(结果保留根号) 解:过 点 C 作 CD⊥AB 于 点 D, 设 CD ＝x km, ∵ ∠CBD＝４５°,∴BD＝CD＝ x (km), 在 Rt△ACD 中, ∵ ∠CAD ＝３０°, ∴AD ＝ CD tan∠CAD＝ x tan３０°＝ ３x (km)．∵AD＋BD＝AB, ∴ ３x＋x＝１０,解得x＝５ ３－５, ∴飞机飞行的高度为(５ ３－５) km． 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀅰１２􀅰 第一章　　　　　　　 ８．如图,在南北方向的海岸线 MN 上,有 A,B 两艘巡 逻船,现均收到故障船 C 的求救信号,已知 A,B 两 船相距１００(３＋１)海里,船C 在船A 的北偏东６０° 方向上,船C 在 船B 的 东 南 方 向 上,M