第二章 专题(四) 求二次函数的表达式的方法-【黄冈金牌之路·练闯考】2020-2021学年九年级下册初三数学（北师大版）教用

专题(四)　求二次函数的表达式的方法 一、利用一般式y＝ax２＋bx＋c求二次函数的表达式 １．已知二次函数y＝ax２＋bx＋c(a≠０)中自变量x 和 函数值y 的部分对应值如下表: x 􀆺 －３２ －１ － １ ２ ０ １ ２ １ ３ ２ 􀆺 y 􀆺 － ５ ４ －２ － ９ ４ －２ － ５ ４ ０ ７ ４ 􀆺 则该二次函数的表达式为　y＝x２＋x－２　． ２．已知二次函数y＝ax２＋bx＋c,当x＝１时,y＝３;当 x＝－２ 时,y＝７;当 x＝３ 时,y＝ －３,求a,b,c 的 值,并写出该二次函数的表达式． 解:根 据 题 意, 得 a＋b＋c＝３, ４a－２b＋c＝７, ９a＋３b＋c＝－３, ì î í ïï ïï 解 得a＝ － １３ , b＝－５３ ,c＝５．∴y＝－ １ ３x ２－５３x＋５． ３．如图,抛物线y＝－ １ ２x ２＋bx＋c 与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,已知点 A(－１,０),C(０,２)． (１)求抛物线的函数表达式; (２)若 点 D 是 抛 物 线 位 于 第 一 象 限 上 的 动 点,求 △BCD 面积的最大值及此时点D 的坐标． 解:(１)将点A,C 的坐标代入y＝ －１２x ２＋bx＋c,得 －１２－b＋c＝０ , c＝２, { 解得 b＝３２ , c＝２． { ∴抛物线的函数表达式为y＝－ １ ２x ２＋３２x＋２． (２)连接OD,BD,易得B(４,０), 设 D(m,－１２m ２＋３２m＋２ ),且０＜m＜４, ∵S四边形OCDB ＝S△OCD ＋S△OBD ＝ １ ２×２m＋ １ ２×４ (－１２m ２ ＋３２m＋２ )＝－m２＋４m＋４, ∴S△BCD ＝S四边形OCDB －S△OBC ＝－m２＋４m＋４－ １ ２×４ ×２＝－m２＋４m＝－(m－２)２＋４, 当 m＝２时,S△BCD 取得最大值４,此时yD ＝－ １ ２×４ ＋３２×２＋２＝３ ,即 D(２,３)． 二、利用顶点式y＝a(x－h)２＋k求二次函数的表达式 ４．若一抛物线和抛物线y＝－３x２ 的形状、开口方向完 全相 同,顶 点 坐 标 是 (－１,３),则 该 抛 物 线 的 表 达 式为 (B ) A．y＝－３(x－１)２＋３ 　B．y＝－３(x＋１)２＋３ C．y＝－(３x＋１)２＋３ 　D．y＝－(３x－１)２＋３ ５．如图,已知在平面直角坐标系内,二次函数图象的顶 点为A(１,－４),且过点B(３,０)． (１)求该二次函数的表达式; (２)将该二次函数图象向右平移几个单位长度,可使 平移后所得图象经过坐标原点? 并直接写出 平 移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标． 解:(１)设该二次函数的表达式为 y＝a(x－１)２ －４,∵ 该 二 次 函 数 的图象过点B(３,０),∴０＝４a－４, 解得a＝１,∴该二次函数的表达式 为y＝(x－１)２－４＝x２－２x－３． (２)令y＝x２－２x－３＝０．解得x１＝３,x２＝－１,∴二 次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(３,０)和 (－１,０),∴二次函数图象向右平移１个单位后所得 图象经过坐标原点,平移后所得图象与x 轴的另一 个交点坐标为(４,０)． ６．如图,二次函数的图象与x 轴交于A(－２,０),B(４, ０)两点,且函数的最大值为９． (１)求二次函数的表达式; (２)设此二次函数图象的顶点为C,与y 轴的交点为 D,求四边形 ABCD 的面积． 解:(１) 由 对 称 性 可 知 抛 物 线的 对 称 轴 为 直 线 x＝１, ∴抛 物 线 的 顶 点 C 为 (１, ９)．设抛物线的表达式为y ＝a(x－１)２ ＋９, ∴a(４－ １)２＋９＝０,∴a＝－１,∴抛 物线的 表 达 式 为 y＝ － (x －１)２＋９,即y＝－x２＋２x＋８． (２)过点C 作CE⊥x 轴于点E,∴D(０,８),S四边形ABCD ＝S△AOD ＋S四边形DOEC ＋S△BCE ＝３０． 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀅰９３􀅰 第二章　　　　　　　 ７．(２０１８􀅰无锡)已知:如图,