第二章 专题(六) 二次函数综合题-【黄冈金牌之路·练闯考】2020-2021学年九年级下册初三数学（北师大版）教用

专题(六)　二次函数综合题 １．(２０１８􀅰临安区)如图,△OAB 是边长为２＋ ３的等 边三角形,其中 O 是坐标原点,顶点 B 在y 轴正方 向上,将 △OAB 折 叠,使 点 A 落 在 边 OB 上,记 为 A′,折痕为EF． (１)当 A′E∥x 轴时,求点 A′和E 的坐标; (２)当 A′E∥x 轴,且抛物线y＝ － １ ６x ２＋bx＋c 经 过点A′和E 时,求抛物线与x 轴的交点的坐标; (３)当点 A′在OB 上运动,但不与点O,B 重合时,能 否使△A′EF 成为直角三角形? 若能,请求出此 时点 A′的坐标;若不能,请你说明理由． 解:(１) 由 已 知 可 得 ∠A′OE ＝ ６０°,A′E＝AE, ∵A′E∥x 轴,∴ △OA′E 是 直 角三角形． 设A′的坐标为(０,b), AE＝A′E＝ ３b,OE＝２b, ３b ＋２b＝２＋ ３, ∴b＝１,点A′,E 的坐标分别是(０,１)与( ３,１)． (２)∵点A′,E 在抛物线上, ∴ １＝c, １＝－１６ 􀅰( ３)２＋ ３b＋c,{ ∴ c＝１, b＝ ３６ , ì î í ïï ïï ∴函数关系式为y＝－ １ ６x ２＋ ３６x＋１ , 由－１６x ２＋ ３６x＋１＝０ , 得x１＝－ ３,x２＝２ ３, 与x轴的两个交点坐标分别是(－ ３,０)与(２ ３,０)． (３)不可能使△A′EF 成为直角三角形． ∵∠FA′E＝∠FAE＝６０°, 若△A′EF 成为直角三角形,只能是∠A′EF＝９０°或 ∠A′FE＝９０° 若∠A′EF＝９０°,利用对称性,则∠AEF＝９０°, A、E、A 三点共线,O 与A 重合,与已知矛盾; 同理若∠A′FE＝９０°也不可能, 所以不能使△A′EF 成为直角三角形． ２．已知抛物线y＝x２＋bx＋c的顶点为P,与y 轴交于点 A,与直线OP 交于点B． (１)如图①,若点 P 的横坐标为１,点B 的坐标为(３, ６),试确定该抛物线的表达式; (２)在(１)的条件下,在直线 AB 下方的抛物线上一 点 M ,使 S△ ABM ＝３? 若存在,请求出点 M 的坐 标;若不存在,请说明理由; (３)如图②,若点P 在第一象限,且PA＝PO,过点P 作 PD⊥x轴于点D,将抛物线y＝x２＋bx＋c平移,平 移后的抛物线经过点A,D,该抛物线与x 轴的另一 个交点为C,请探究四边形OABC 的形状,并说明 理由． 解:(１)该抛物线的表达式为y＝x２－２x＋３． (２)∵抛物线y＝x２－２x＋３与y轴交于点A,∴A(０,３)． ∴可得直线AB 的表达式为y＝x＋３． 若存在点 M 使S△ABM ＝３,则点 M 的坐标为(x,x２－ ２x＋３)且０＜x＜３,过点 M 作y 轴的平行线交直线 AB 于点N,则 N(x,x＋３)．∴S△ABM ＝S△AMN ＋S△BMN ＝１２MN 􀅰|xB－xA|＝３,∴ １ ２ [x＋３－(x２－２x＋３)] ×３＝３．解得x１＝１,x２＝２．故存在点 M(１,２)或 (２,３) 使S△ABM ＝３． (３)由 PA＝PO,OA＝c可得PD＝c２．∵ 抛物线y＝x２ ＋bx＋c的顶点坐标为点P(－b２ ,４c－b ２ ４ ),∴４c－b ２ ４ ＝ c ２ ,∴c＝b ２ ２ ,∴y＝x２＋bx＋ b２ ２ ,A(０,b ２ ２ ),P(－b２ ,b ２ ４ ), D(－b２ ,０)．∴直线OP 的表达式为y＝－ b ２x． 解 y＝x２＋bx＋ b２ ２ , y＝－ b ２x , ì î í ï ï ïï 得 x１＝－ b ２ , y１＝ b２ ４ , ì î í ï ï ïï 或 x２＝－b, y２＝ b２ ２ ,{ ∴点B 的坐标为(－b,b ２ ２ )．由平移后的抛物线经过点 A,可设平移后的抛物线的表 达 式 为y＝x２ ＋mx＋ １ ２b ２,将点 D(－b２ ,０)的坐标代入y＝x２＋mx＋ b２ ２ , 得 m＝３２b , ∴平移后的抛物线表达式为y＝x２＋ ３ ２b＋ １ ２b ２． 令y＝x２＋ ３ ２bx＋ b２ ２＝０． 解得x１＝－b,x２＝－ b ２． ∴点C 的坐标为(－b,０),则BC＝b ２ ２． 则BC＝OA． 又∵BC∥OA,∴四边形OABC 是平行四边形． 又∵∠AOC＝９０°,∴平行四边形OABC 是矩形． 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 �