专题15 圆锥曲线与其它知识的交汇问题-备战2021高考数学冲破压轴题讲与练

专题15 圆锥曲线与其它知识的交汇问题 【压轴综述】 纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，出现一些与其它知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解此类问题的方法规律. 一、与平面向量交汇问题主要体现在以下两个方面：一是用向量的数量积解决有关角的问题； 二是用向量的坐标表示解决共线问题． (1)用向量的数量积解决有关角的问题，其步骤是：先写出向量坐标式a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，再用向量数量积的坐标公式cos θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))求角． (2)当a，b不共线时，有〈a，b〉为：直角⇔a·b＝0；钝角⇔a·b<0(且a，b不反向)；锐角⇔a·b>0(且a，b不同向)． (3)解题时，利用向量关系列出点之间的方程是关键． 二、在涉及最值、范围问题时，往往与不等式、函数、导数等相结合.基本解题思路是构建不等式，创造应用基本不等式的条件；构建函数关系，应用导数研究函数的单调性、极（最）值等. 【压轴典例】 例1．（2020·上海高三专题练习）设 ，为曲线 的焦点， 是曲线 与 的一个交点，则 的值为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点 为曲线 与 在第一象限内的交点，由曲线 的方程可得 、 ，再由椭圆的定义可得： ，又因曲线 的焦点和曲线 的焦点相同，再由双曲线的定义可得： ，∴ ， ， 中，由余弦定理可得： ，所以 . 例2．（2020·江苏南京市·高三）光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的光线等效于从另一个焦点射出.如图，一个光学装置由有公共焦点 的椭圆Γ与双曲线 构成，现一光线从左焦点 发出，依次经过 与Γ反射，又回到了点 历时 秒；若将装置中的 去掉，此光线从点 发出，经Γ两次反射后又回到了点 历时 秒；若 则Γ与 的离心率之比为（ ） A． B．1：2 C．2：3 D．3：4 【答案】C 【详解】设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的实半轴长为 ，在左图中，由椭圆定义可得： ①，由双曲线定义可得： ②，① ②得： ， 的周长为： ；在右图中，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点，即直线 过 ， 的周长为 ，又 两次时间分别为 ， ，且 ， 光线速度相同， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 椭圆与双曲线焦点相同， ， EMBED Equation.DSMT4 ． 例3.（2020浙江温州中学高三）设点 是长方体 的棱 的中点， ， ，点 在面 上，若平面 分别与平面 和平面 所成的锐二面角相等，则 点的轨迹为（ ） A.椭圆的一部分 B.抛物线的一部分 C.一条线段 D.一段圆弧 【答案】C 【解析】设 在平面 的投影为 ，平面 与平面 所成的锐二面角为 则 ， 在平面 的投影为 中点 ，平面 与面 所成的锐二面角为 ，则 ，故 即 得到 ，即 到直线 的距离为定值，故 在与 平行的直线上，又点 在面 上，故轨迹为一条线段. 例4.（2020·广州市天河中学）(多选)已知椭圆 ，双曲线 若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（ ） 参考数据（ ） A．椭圆的离心率 B．双曲线的离心率 C．椭圆上不存在点A使得 D．双曲线上存在不同的四个点Bi(i=1,2,3,4),使得 【答案】ABD 【详解】如图，不妨设 ，双曲线N的两条渐近线与椭圆M在第一象限的交点坐标为 ，由正六边形的性质，可得 ， , ， 椭圆M的长轴长 ,∴ , ,∴当 为椭圆的上顶点时 为钝角， ,故C错误； 椭圆M离心率 ，故A正确；双曲线N的渐近线方程为 ,∴ ，又∵ , , 双曲线N的离心率为 ,故B正确；以 为直径作圆，显然与双曲线N有四个不同的交点，这四个点关于 所张的角为直角，故D正确. 例5.（2020·四川石室中学高三）设双曲线 的左，右顶点为 是双曲线上不同于 的一点，设直线 的斜率分别为 ，则当 取得最小值时，双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由双曲线 ，则 ，设 ，则 ，可得 ，则 ，所以 ， 所以 ，设 ，则 ， 则 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增， 所以当 时，函数 取得最小值，即当 取得最小值时， ，所以双曲线的离心率为 ，故选D． 例6．（2020·全国高三专题练习）已知点