专题14 圆锥曲线中的探索性问题-备战2021高考数学冲破压轴题讲与练

专题14 圆锥曲线中的探索性问题 【压轴综述】 纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等. 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解存在性和探索性问题等. 1. 探究性问题求解的思路及策略 (1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在． (2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论； ②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． 在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别． 2.解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立. （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去. （3）核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解. 【压轴典例】 例1.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点A(2,1). (1)求C的方程; (2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值. 【解析】(1)由题意得+=1,=,解得a2=6,b2=3.所以C的方程为+=1. (2)设M(x1,y1),N(x2,y2).若直线MN与x轴不垂直,设直线MN的方程为y=kx+m,代入+=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0.于是x1+x2=-,x1x2=.① 由AM⊥AN知·=0,故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0, 可得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0. 将①代入上式可得(k2+1)-(km-k-2)+(m-1)2+4=0.整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0. 因为A(2,1)不在直线MN上,所以2k+m-1≠0,故2k+3m+1=0,k≠1(A(2,1)不在直线MN上). 于是MN的方程为y=k-(k≠1).所以直线MN过点P. 若直线MN与x轴垂直,可得N(x1,-y1).由·=0得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-y1-1)=0. 又+=1,可得3-8x1+4=0.解得x1=2(舍去),x1=.此时直线MN过点P. 令Q为AP的中点,即Q.若D与P不重合,则由题设知AP是Rt△ADP的斜边, 故|DQ|=|AP|=.若D与P重合,则|DQ|=|AP|. 综上,存在点Q,使得|DQ|为定值. 例2．（2021·江苏无锡市·高三）已知椭圆 过点 ，离心率为 ，抛物线 的准线l交x轴于点A，过点A作直线交椭圆C于M，N． （1）求椭圆C的标准方程和点A的坐标； （2）若M是线段AN的中点，求直线 的方程； （3）设P，Q是直线l上关于x轴对称的两点，问：直线PM于QN的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由． 【答案】（1） ， ；（2） ；（3） 与 的交点恒在直线 上，理由见解析. 【详解】（1）由题意，椭圆 过点 ，离心率为 ， 可得 且 ，又由 ，解得 ，即椭圆 的方程为 ，又由抛物线 ，可得准线方程为 ，所以 . （2）设 ，则 ，联立方程组 ， 解得 ， 当 时，可得直线 ； 当 时，可得直线 ；所以直线 的方程为 . （3）设 ，可得 ，设 联立方程组 ，整理得 ， 所以 ，则 ， 又由直线 ， ，交点横坐标为 ，所以 与 的交点恒在直线 上. 例3．（2021·上海高三）如图，已知圆 和双曲线 ，记 与 轴正半轴、 轴负半轴的公共点分别为 、 ，又记 与 在第一、第四象限的公共点分别为 、 . （1）若 ，且 恰为 的左焦点，求 的两条渐近线的方程； （2）若 ，且 ，求实数 的值； （3）若 恰为 的左焦点，求证：在 轴上不存在这样的点 ，使得 . 【答案】（1） ；（2） ；（2）见解析． 【详解】（1）由题意圆方程为 ，令 得 ，∴ ，即 ，∴ ， ，∴渐近