专题12 圆锥曲线中的最值、范围问题-备战2021高考数学冲破压轴题讲与练

专题12 圆锥曲线中的最值、范围问题 【压轴综述】 圆锥曲线中最值与范围问题是近几年考查的热点问题，本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题. 一、圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法 (1)两种类型 ①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题； ②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题． (2)两种解法 ①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解． 二、解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题. 【压轴典例】 例1.(2020·全国卷Ⅱ文科·T9)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:-=1的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为 (　　) A.4 B.8 C.16 D.32 【解析】选B. 双曲线C:-=1的两条渐近线方程为y=±x,将x=a与双曲线渐近线方程联立,令D和E坐标分别为D(a,b),E(a,-b),所以△ODE的面积为ab=8,所以c2=a2+b2≥2ab=16,当且仅当a=b=2时,等号成立,所以c≥4,则焦距2c的最小值为8. 例2.(2020·全国卷Ⅱ理科·T8)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:-=1的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为 (　　) A.4 B.8 C.16 D.32 【解析】选B. 双曲线C:-=1的两条渐近线方程为y=±x,将x=a与双曲线渐近线方程联立,令D和E坐标分别为D(a,b),E(a,-b),所以△ODE的面积为ab=8,所以c2=a2+b2≥2ab=16,当且仅当a=b=2时,等号成立,所以c≥4,则焦距2c的最小值为8. 例3.（2020山东高考模拟）已知 ，若点 是抛物线 上任意一点，点 是圆 上任意一点，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点，由于点 是抛物线上任意一点，则 ， 点 ，则 ，由于点 是圆 上任意一点，所以要使 的值最小，则 的值要最大，即点 到圆心的距离加上圆的半径为 的最大值，则 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ，经检验满足条件， EMBED Equation.DSMT4 的最小值为 ， 例4.(2020·浙江高考·T21)如图,已知椭圆C1：+y2=1,抛物线C2：y2=2px(p>0),点A是椭圆C1与抛物线C2的交点,过点A的直线l交椭圆C1于点B,交抛物线C2于M(B,M不同于A). (Ⅰ)若p=,求抛物线C2的焦点坐标; (Ⅱ)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值. 【解析】(Ⅰ)由题意得,抛物线C2的焦点坐标为F. (Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),C(-x1,-y1),则OM∥BC, kAM·kOM=kAB·kBC=·==-, 则kAM·kOM=·=·=·=-⇒+y3y1+8p2=0,若y3存在,则Δ=-32p2≥0.由于+2px1=1⇒x1=-2p+,于是=2px1=-4p2+2p, 故-4p2+2p≥32p2⇒≥18p⇒p≤.于是p的最大值为, 此时x1=,y1=,即在A时取得. 例5.(2020·江苏高考·T18)在平面直角坐标系xOy中,若椭圆E:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点A在椭圆E上且在第一象限内,AF2⊥F1F2,直线AF1与椭圆E相交于另一点B. (1)求△AF1F2的周长; (2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q,求·的最小值; (3)设点M在椭圆E上,记△OAB与△MAB的面积分别是S1,S2,若S2=3S1,求M的坐标. 【解析】(1)△AF1F2的周长=2a+2c=6. (2)由椭圆方程得A,设点P(t,0),则直线AP方程为y=(x-t), 令x==4得yQ==,即Q,=, ·=t2-4t=(t-2)2-4≥-4,即·的最小值