专题11 圆锥曲线的几何性质与应用-备战2021高考数学冲破压轴题讲与练

专题11 圆锥曲线的几何性质与应用 【压轴综述】 纵观近几年的高考命题，围绕圆锥曲线的几何性质与应用的高考压轴题，逐渐呈现“多样化”，即离心率问题、渐近线问题、圆锥曲线中的三角形问题、求其它曲线的方程问题、与平面向量相结合问题等. 在上述各类压轴题型中，圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型，也是历年高考考查的热点，解题规律更易把握.求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率e的等式或不等式使问题获解． 1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向： （1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与 有关，另一条边为焦距.从而可求解 （2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用 进行表示，再利用条件列出等式求解 2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑： （1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口 （2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可 （3）通过一些不等关系得到关于 的不等式，进而解出离心率 注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆： ，双曲线： 本专题通过例题说明各类问题解答规律与方法. 【压轴典例】 例1.(2020·全国卷Ⅲ理科·T11)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a= (　　) A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】选A.设PF1=m,PF2=n,m>n,=mn=4,m-n=2a,m2+n2=4c2,e==,所以a=1. 例2.(2020·北京高考·T7)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线 (　　) A.经过点O　　　　　　　　B.经过点P C.平行于直线OP D.垂直于直线OP 【解析】选B.因为点P在抛物线上,所以|PQ|=|PF|,所以FQ的垂直平分线经过点P. 例3.(2020·全国卷Ⅰ高考理科·T4)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p= (　　) A.2 B.3 C.6 D.9 【解析】选C.设抛物线的焦点为F,由抛物线的定义知|AF|=xA+=12,即12=9+,解得p=6. 例4.(2020·全国卷Ⅰ高考文科·T11)设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为 (　　) A. B.3 C. D.2 【解析】选B.由已知,不妨设F1(-2,0),F2(2,0),则a=1,c=2,因为|OP|=2=|F1F2|,所以点P在以F1F2为直径的圆上,即△F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形,故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2=16,又||PF1|-|PF2||=2a=2, 所以4=||PF1|-|PF2||2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16-2|PF1||PF2|,解得|PF1||PF2|=6, 所以=|PF1||PF2|=3. 例5.(2020·全国卷Ⅲ文科·T7理科·T5)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为 (　　) A. B. C.(1,0) D.(2,0) 【解析】选B. 因为直线x=2与抛物线y2=2px(p>0)交于D,E两点,且OD⊥OE,根据抛物线的对称性可以确定∠DOx=∠EOx=,所以D,代入抛物线方程4=4p,求得p=1,所以其焦点坐标为. 例6.(2020·天津高考·T7)设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为 (　　) A.-=1 B.x2-=1 C.-y2=1 D.x2-y2=1 【解析】选D.由题可知,抛物线的焦点为(1,0),所以直线l的方程为x+=1,即直线的斜率为