专题02 等差数列（重难点突破）-【教育机构专用】2021年春季高二数学辅导讲义(新教材人教A版2019)

专题02 等差数列 一、考情分析 二、经验分享 【基础知识】 1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 ①等差数列定义：定义法或。 ②分类：若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。 2、等差数列的判断方法：定义法或 3、等差数列的通项：或。 ①当时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差； 4、等差数列的前和：，。 ①前和是关于的二次函数且常数项为0. 5、等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。 ①当时,则有，特别地，当时，则有. 6、若是等差数列 ， ，…也成等差数列. 【方法总结】 1、等差数列基本运算的解题思路： （1）设基本量a1和公差d． （2）列、解方程组：把条件转化为关于a1和d的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量． 2、求解等差数列通项公式的方法主要有两种： （1）定义法. （2）前项和法，即根据前项和与的关系求解. 3、等差数列前n项和公式的应用方法： 根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用； 若已知通项公式，则使用，同时注意与性质“”的结合使用. 4、等差数列的判定与证明的方法： 定义法：或是等差数列； 定义变形法：验证是否满足； 等差中项法：为等差数列； 通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； 前n项和公式法：为常数为等差数列． 5、等差数列的性质是每年高考的热点之一，利用等差数列的性质进行求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题.应用等差数列性质的注意点： （1）熟练掌握等差数列性质的实质 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题. （2）应用等差数列的性质解答问题的关键 寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条件，如若，则 ，需要当序号之和相等、项数相同时才成立，再比如只有当等差数列{an}的前n项和Sn中的n为奇数时，才有Sn=na中成立. 6、等差数列的前n项和的最值问题 （1）二次函数法： ，由二次函数的最大值、最小值的知识及知，当n取最接近的正整数时，取得最大（小）值．但应注意，最接近的正整数有1个或2个．注意：自变量n为正整数这一隐含条件. （2）通项公式法： 求使()成立时最大的n值即可． 一般地，等差数列中，若，且，则①若为偶数，则当时，最大； ②若为奇数，则当或时，最大． （3）不等式法：由，解不等式组确定n的范围，进而确定n的值和的最大值． 三、题型分析 (一) 等差数列的概念及其定义 一般地，如果一个数列从______________，相邻每一项与它的前一项的差等于同一个______________，那么这个数列就叫做______________，这个常数叫做等比数列的公差；公比通常用字母________表示， 即：____________________________或____________________________。 特别注意：证明或判断等差数列____________________________。 例1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺， 重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾 每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（ ） A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤 【答案】D 【解析】因为每一尺的重量构成等差数列，，，， 数列的前5项和为．即金锤共重15斤，故选D． 【名师点睛】本题主要考查等差数列求和公式的应用，意在考查运用所学知识解答实际问题的能力，属于基础题.求解时，直接利用等差数列的求和公式求解即可. 【变式训练1】．（2021·全国高二单元测试）已知等差数列{}，，则公差d的值是（ ） A．4 B．-6 C．8 D．-10 【答案】A 【分析】 等差数列{}的通项公式即可求解． 【详解】 在等差数列{}中， 公差 故选：A 【变式训练2】．（2021·全国高二单元测试）数列{}的前4项依次是20，11，2，-7，{}的一个通项公式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由等差数列的特点以及等差数列的通项公式即可求解． 【详解】 由已知可看出数列{}为等差数列，首项为20，公差为-9， 由等差数列的通项公式可得. 故选：B 【变式训练3】．在等差数列中,已知,则_____． 【答案】20 【解析】 依题意，所以． 或： 【变式训练4】．设数列都是等差数列，若，，则____