专题06 函数与三角形存在性问题-备战2021年中考数学二轮复习题型专练（浙江专用）

题型六 函数与三角形存在性问题 【要点提炼】 1、 【等腰三角形存在性】 例1、 在坐标系中有AB两点，则在x轴上是否存在点C，使▲ABC是等腰三角形 ①画出点C可能存在的所有位置：就是我们经常讲的两圆一线 两圆：以A为圆心，AB为半径画圆；以B为圆心，AB为半径画圆 一线：AB的垂直平分线 如图，两圆一线上所有的点都能与A、B两点形成等腰三角形，共有如图五个点C ②代数法 设出A、B、C三点的坐标，用两点间距离公式表示出三角形三边的长，然后列方程 AB=BC；BC=AC；AB=AC 2、 【直角三角形存在性】 例2、 在坐标系中有AB两点，则在x轴上是否存在点C，使▲ABC是直角三角形 ①画出点C可能存在的所有位置：两线一圆 两线：分别以A、B为垂足，做AB的垂线 一圆：以AB为直径画圆 如图，两线一圆上所有的点都能与A、B两点形成直角三角形，共有如图四个点C ②代数法 设出A、B、C三点的坐标，用两点间距离公式表示出三角形三边的长，然后列方程 3、 【等腰直角三角形存在性】 例3、 在坐标系中有AB两点，则在坐标平面内是否存在点C，使▲ABC是等腰直角三角形 ①画出点C可能存在的所有位置：如图，固定会有六个答案点C ②代数法 在等腰Rt▲ABC外做出K型全等，如图，▲ADB全等于▲BEC，设出A、B、C三点的坐标，表示出AD、B、BE、EC的长，列出方程 AD=BE；DB=EC 【专题训练】 一．填空题（共1小题） 1．（2020•无锡）二次函数的图象过点，且与轴交于点，点在该抛物线的对称轴上，若是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为　　． 二．解答题（共5小题） 2．（2019•白银）如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，．点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为． （1）求此抛物线的表达式； （2）过点作轴，垂足为点，交于点．试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）过点作，垂足为点．请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？ 3．（2019•乐陵市模拟）如图，关于的二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在．请求出点的坐标； （3）有一个点从点出发，以每秒1个单位的速度在上向点运动，另一个点从 点与点同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点到达点时，点、同时停止运动，问点、运动到何处时，面积最大，试求出最大面积． 4．（2018•资阳）已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点是线段上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点运动到什么位置时，的面积有最大值？ （3）过点作轴的垂线，交线段于点，再过点做轴交抛物线于点，连接，请问是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 5．（2018•兰州）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，连接，，． （1）求抛物线的表达式； （2）求证：平分； （3）抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2016•白银）如图，已知抛物线经过，两点． （1）求此抛物线的解析式和直线的解析式； （2）如图①，动点从点出发，沿着方向以1个单位秒的速度向终点匀速运动，同时，动点从点出发，沿着方向以个单位秒的速度向终点匀速运动，当，中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接，设运动时间为秒，当为何值时，为直角三角形？ （3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在，处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点与，两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点的坐标；如果不存在，请简要说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 $ 题型六 函数与三角形存在性问题 【要点提炼】 1、 【等腰三角形存在性】 例1、 在坐标系中有AB两点，则在x轴上是否存在点C，使▲ABC是等腰三角形 ①画出点C可能存在的所有位置：就是我们经常讲的两圆一线 两圆：以A为圆心，AB为半径画圆；以B为圆心，AB为半径画圆 一线：AB的垂直平分线 如图，两圆一线上所有的点都能与A、B两点形成等腰三角形，共有如图五个点C ②代数法 设出A、B、C三点的坐标，用两点间距离公式表示出三角形三边的长，然后列方程 AB=BC；BC=AC；AB=AC 2、 【直角三角形存在性】 例2、 在坐标系中有AB两点