专题十一 并项求和法、含绝对值数列求数列的前n项和-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）

专题十一 并项求和法、含绝对值数列求数列的前n项和 基本公式 并项求和法：一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.总之，在求数列的前n项和时，应先考查其通项公式，根据通项公式的特点，再来确定选用何种求和方法．数列求和的实质就是一个代数式(或超越式)的化简问题． 例题分析 一、并项求和 INCLUDEPICTURE"左括.TIF" 例1 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝2Sn－1(n∈N*)． (1)求证：数列{an}为等比数列； (2)若bn＝(2n＋1)an，求{bn}的前n项和Tn. 解析　(1)证明：当n＝1时，a1＝2S1－1＝2a1－1，得a1＝1； 当n≥2时，an＝2Sn－1， an－1＝2Sn－1－1，两式相减可得an－an－1＝2an， 化简得an＝－an－1， 所以{an}是首项为1，公比为－1的等比数列． (2)由(1)可得an＝1×(－1)n－1， 所以bn＝(2n＋1)×(－1)n－1， 当n为偶数时，bn－1＋bn＝－2. ∴Tn＝eq \f(n,2)×(－2)＝－n. 当n为奇数时，n－1为偶数，Tn＝Tn－1＋bn＝－(n－1)＋2n＋1＝n＋2. 综上，数列{bn}的前n项和为Tn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－n (n为偶数)，,n＋2(n为奇数).)) 答案 (1) 首项为1，公比为－1的等比数列 (2) Tn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－n (n为偶数)，,n＋2(n为奇数).)) 归纳总结：数列的通项中出现(－1)n或(－1)n＋1时，常常要对n取值的奇偶性进行分类讨论，应首先求出当n为偶数时的Sn，再考虑当n为奇数时，n－1为偶数，所以Sn＝Sn－1＋an. (对应训练一)求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)． 解析　当n为偶数时， Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝n. 当n为奇数时，n－1为偶数， ∴Sn＝Sn－1＋(－1)n(2n－1)＝n－1＋(－1)(2n－1)＝－n. ∴Sn＝(－1)n·n，(n∈N*)． 答案 (－1)n·n (对应训练二)已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________. 解析 因为f (n)＝n2cos(nπ)，所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝[f (1)＋f (2)＋…＋f (100)]＋[f (2)＋…＋f (101)]，f (1)＋f(2)＋…＋f (100)＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002＝(22－12)＋(42－32)＋…(1002－992)＝3＋7＋…＋199＝eq \f(503＋199,2)＝5 050，f(2)＋…＋f (101)＝22－32＋42－…－992＋1002－1012＝(22－32)＋(42－52)＋…＋(1002－1012)＝－5－9－…－201＝eq \f(50－5－201,2)＝－5 150，所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(100)]＋[f(2)＋…＋f(101)]＝－5 150＋5 050＝－100. 答案 －100 二、含绝对值数列求前n项和 例2 已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{an}的通项公式； (2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和． 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d， 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝－3,a1a1＋da1＋2d＝8))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝2,d＝－3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝－4,d＝3)). 所以由等差数列通项公式可得an＝2－3(n－1)＝－3n＋5，或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7. 故an＝－3n＋5，或an＝3n－7. (2)当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列，不满足条件； 当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件． 故|an|＝|3n－7|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－3n＋7　n＝1，2,3n－7