专题十 分组求和法求数列的前n项和-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）

专题十 分组求和法求数列的前n项和 基本知识点 分组求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．例如：an＝bn＋cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组转化法求{an}前n项和。 例题分析 一、分组转化求和 INCLUDEPICTURE"左括.TIF" 例1 已知数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n，…. (1)求其通项公式an； (2)求这个数列的前n项和Sn. 解析　(1)an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝eq \f(1－2n,1－2)＝2n－1. ∴这个数列的通项公式为an＝2n－1. (2)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1) ＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n ＝eq \f(21－2n,1－2)－n＝2n＋1－n－2. 答案 (1) 2n－1 (2) 2n＋1－n－2 归纳总结：分组转化求和法：如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解． (对应训练一)各项均为正数的等比数列{an}，a1＝1，a2a4＝16，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝eq \f(3n2＋n,2)(n∈N＋)． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)若cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Tn. 解析　(1)设公比为q，∵a1＝1，a2a4＝16， ∴q4＝16，∵q＞0，∴q＝2.∴an＝2n－1. ∵Sn＝eq \f(3n2＋n,2)， ∴当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝eq \f(3n2＋n,2)－eq \f(3n－12＋n－1,2)＝3n－1. 当n＝1时，b1＝S1＝2满足上式，∴bn＝3n－1. (2)cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1. ∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(20＋21＋…＋2n－1)＋(2＋5＋…＋3n－1) ＝eq \f(1－2n,1－2)＋eq \f([2＋3n－1]n,2)＝2n－1＋eq \f(n3n＋1,2). 答案 (1) an＝2n－1 bn＝3n－1 (2) 2n－1＋eq \f(n3n＋1,2) (对应训练一)在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，求{bn}的前n项和Sn. 解析　(1)设等差数列{an}的公差是d. ∵a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6，∴d＝－3， ∴a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1， ∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋2. (2)∵数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列， ∴an＋bn＝qn－1，即－3n＋2＋bn＝qn－1， ∴bn＝3n－2＋qn－1， ∴Sn＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋q＋q2＋…＋qn－1) ＝eq \f(n(3n－1),2)＋(1＋q＋q2＋…＋qn－1)， 故当q＝1时，Sn＝eq \f(n(3n－1),2)＋n＝eq \f(3n2＋n,2)； 当q≠1时，Sn＝eq \f(n(3n－1),2)＋eq \f(1－qn,1－q). 答案 (1) －3n＋2 (2) 故当q＝1时，Sn＝eq \f(n(3n－1),2)＋n＝eq \f(3n2＋n,2)；当q≠1时，Sn＝eq \f(n(3n－1),2)＋eq \f(1－qn,1－q). 二、分组转化求和在函数中的应用 例2 数列{an}的通项an＝n2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2 \f(nπ,3)－sin2 \f(nπ,3)))，其前n项和为Sn，则S30为________． 解析 ∵an＝n2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2 \f(nπ,3)－sin2 \f(nπ,3)))＝n2cos eq \f(2nπ,3)， ∴S30＝12·cos eq \f(2π,3)＋22·cos eq \f(4π,3)＋32·cos 2π＋…＋302·cos 20π ＝－eq \f(1,2)×12－eq \f(1,2)×22＋32－eq \f(1,2)×42－eq \f(1,2)×52＋62＋…－eq \f(1,2)×282－eq \f(1,2)×292＋302 ＝－eq \f(1,2)[(12＋22－2×32)＋(42＋52－2×62)＋…＋(282＋292－2×302)] ＝－eq \f(1,2)[(12－32)＋(42－62)＋…＋