专题九 裂项相消法求数列的前n项和-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）

专题九 裂项相消法求数列的前n项和 基本公式 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．形如：an＝f(n)－f(n－1)，采用裂项相消法求{an}前n项和 常见的裂项公式 (1)若{an}是等差数列，则eq \f(1,anan＋1)＝eq \f(1,d)(eq \f(1, an)－eq \f(1, an+1))，eq \f(1,anan＋2)＝eq \f(1,2d)(eq \f(1, an)－eq \f(1, an+2)). (2)eq \f(1,nn＋k)＝eq \f(1,k)(eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋k)). (3)eq \f(1,4n2－1)＝eq \f(1,2n－12n＋1)＝eq \f(1,2)(eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n＋1)). (4)eq \f(\r(n＋1)－\r(n),\r(n＋1)\r(n))＝eq \f(1,\r(n))－eq \f(1,\r(n＋1)). (5)eq \f(n＋1,n2(n＋2)2)＝eq \f(1,4)[eq \f(1, n2)－eq \f(1, (n＋2)2)]. (6)eq \f(2n2,2n－12n＋1)＝1＋eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))). (7)eq \f(1,\r(n＋k)＋\r(n))＝eq \f(1,k)(eq \r(n＋k)－eq \r(n))． (8)logaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))＝loga(n＋1)－logan 例题分析 一、裂项相消法在数列中的应用 INCLUDEPICTURE"左括.TIF" 例1 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＋a2＝10，S5＝40. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝eq \f(1,anan＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn. 解析　(1)设公差为d，由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋d＝10,5a1＋\f(1,2)×5×4d＝40))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝4,d＝2)). ∴an＝4＋2(n－1)＝2n＋2. (2)bn＝eq \f(1,anan＋1)＝eq \f(1,4)(eq \f(1,n＋1)－eq \f(1,n＋2))， ∴Tn＝eq \f(1,4)[(eq \f(1,2)－eq \f(1,3))＋(eq \f(1,3)－eq \f(1,4))＋(eq \f(1,4)－eq \f(1,5))＋…＋(eq \f(1,n＋1)－eq \f(1,n＋2))] ＝eq \f(1,4)(eq \f(1,2)－eq \f(1,n＋2))＝eq \f(n,8n＋2). 答案 (1) an＝2n＋2 (2) eq \f(n,8n＋2) 归纳总结：裂项求和法 对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，例如： (1)若{an}为等差数列，公差为d，则eq \f(1,an·an＋1)＝eq \f(1,d)(eq \f(1,an)－eq \f(1,an＋1))； (2)eq \f(1,\r(n＋1)＋\r(n))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n)等． (对应训练)已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝eq \f(an＋1,SnSn＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn. 解析　(1)由题设知a1a4＝a2a3＝8， 又a1＋a4＝9，可解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝1，,a4＝8))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝8，,a4＝1))(舍去)． 设等比数列{an}的公比为q，由a4＝a1q3得q＝2， 故an＝a1qn－1＝2n－1，n∈N*. (2)因为Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝2n－1， 又bn＝eq \f(an＋1,SnSn＋1)＝eq \f(Sn＋1－Sn,SnSn＋1)＝eq \f(1,Sn)－eq \f(1,Sn＋1)， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,S1)－\f(1,S2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\