专题七 倒序相加法求数列的前n项和-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）

专题七 倒序相加法求数列的前n项和 基本知识点 倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Sn＝a1＋a2＋…＋an，,Sn＝an＋an－1＋…＋a1，))两式相加求出Sn 例题分析 一、倒序相加法在数列中的应用 INCLUDEPICTURE"左括.TIF" 例1 在 中插入 个数，使它们和 组成等差数列 ，则 （　　） A． B． C． D． 解析 令 ，倒过来写 ，两式相加得 ，故 ，所以 ，故选B. 答案 B (对应训练)已知函数 对任意的 都有 ，数列 满足 … .求数列 的通项公式； 解析 因为 ， EMBED Equation.DSMT4 . 故 … . EMBED Equation.DSMT4 … . ①+②，得 ， EMBED Equation.DSMT4 答案 二、倒序相加法在函数中的应用 例2 设f(x)＝eq \f(1,2x＋\r(2))，求f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(5)＋f(6)的值． 解析　∵f(x)＝eq \f(1,2x＋\r(2))， ∴f(x)＋f(1－x)＝eq \f(1,2x＋\r(2))＋eq \f(1,21－x＋\r(2))＝eq \f(1,2x＋\r(2))＋eq \f(1,\f(2,2x)＋\r(2)) ＝eq \f(1,2x＋\r(2))＋eq \f(2x,2＋\r(2)·2x)＝eq \f(\r(2)＋2x,2x＋\r(2)×\r(2))＝eq \f(\r(2),2). 设S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(5)＋f(6)， 则S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(1)＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)． ∴2S＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(6)＋f(－5)]． ∴原式＝eq \f(1,2){[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(0)＋f(1)]＋…＋[f(6)＋f(－5)]} ＝eq \f(1,2)×12×eq \f(\r(2),2)＝3eq \r(2). 答案 3eq \r(2) (对应训练)函数f(x)＝eq \f(1,4x＋2)(x∈R)，若x1＋x2＝1，则f(x1)＋f(x2)＝______，若n∈N*，则f(eq \f(1,n))＋f(eq \f(2,n))＋…＋f(eq \f(n－1,n))＋f(eq \f(n,n))＝__________. 解析　f(x1)＋f(x2)＝eq \f(1,4x1＋2)＋eq \f(1,4x2＋2)＝eq \f(4x2＋2＋4x1＋2,4x1＋x2＋2·4x1＋2·4x2＋4)＝eq \f(4x2＋4x1＋4,24x2＋4x1＋4)＝eq \f(1,2). 又n∈N*时，①当n＝2k＋1(k∈N*)时， f(eq \f(1,n))＋f(eq \f(2,n))＋…＋f(eq \f(n－1,n))＋f(eq \f(n,n))＝eq \f(k,2)＋f(1)＝eq \f(k,2)＋eq \f(1,6)＝eq \f(\f(n－1,2),2)＋eq \f(1,6)＝eq \f(n,4)－eq \f(1,12)； ②当n＝2k(k∈N*)时，f(eq \f(1,n))＋f(eq \f(2,n))＋…＋f(eq \f(n－1,n))＋f(eq \f(n,n))＝eq \f(k－1,2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\f(n,2),n)))＋f(1)＝eq \f(n,4)－eq \f(1,12)； ③当n＝1时，f(eq \f(1,n))＝f(1)＝eq \f(1,6)，也符合eq \f(n,4)－eq \f(1,12). 综合①，②，③得f(eq \f(1,n))＋f(eq \f(2,n))＋…＋f(eq \f(n－1,n))＋f(eq \f(n,n))＝eq \f(n,4)－eq \f(1,12). 答案 eq \f(1,2) eq \f(n,4)－eq \f(1,12) 专题训练 1．设 ， 为数列的前n项和，求 的值是( ) A． B．0 C．59 D． 解析 令 ① 则 ② ①+②可得： ， ，故选A。 答案 A 2．已知正数数列 是公比不等于1的等比数列，且 ，若 ，则 （ ） A．2018 B．4036 C．2019 D．4038 解析