专题六 等比数列的前 n项和-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）

专题六 等比数列的前 n项和 基本公式 1．在等比数列的前n项和公式Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)中，如果令A＝eq \f(a1,q－1)，那么Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔数列{an}为等比数列． 2．等比数列{an}中，若项数为2n，则eq \f(S偶,S奇)＝q(S奇≠0)；若项数为2n＋1，则eq \f(S奇－a1,S偶)＝q(S偶≠0). 3．涉及Sn，S2n，S3n，…的关系或Sn与Sm的关系考虑应用以下两个性质 (1)等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠－1)． (2)等比数列{an}的公比为q，则Sn＋m＝Sn＋qnSm. 4．错位相减法 (1)推导等比数列前n项和的方法 一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， ① 用公比q乘①的两边，可得qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn， ② 由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，整理得Sn＝(q≠1)． (2)我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1. 例题分析 一、等比数列的前n项和的基本计算 INCLUDEPICTURE"左括.TIF" 例1 (1)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为eq \f(5,4)，则S5＝(　　) A．29　　 B．31　　 C．33　　 D．36 (2)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项的和为Sn，已知S3＝eq \f(7,4)，S6＝eq \f(63,4)，则a8＝______. 解析　(1)由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a\o\al(2,1)q3＝2a1①,\f(5,2)＝a1q3＋2a1q6②)) 由①②解得a1q3＝2，a1q6＝eq \f(1,4)，∴q3＝eq \f(1,8)，∴q＝eq \f(1,2)，a1＝16， ∴S5＝eq \f(a11－q5,1－q)＝eq \f(16[1－\f(1,2)5],\f(1,2))＝31. (2)当q＝1时，显然不符合题意； 当q≠1时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a11－q3,1－q)＝\f(7,4)，,\f(a11－q6,1－q)＝\f(63,4)，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1,4)，,q＝2，))则a8＝eq \f(1,4)×27＝32. 答案 (1)B (2)32 归纳总结：等比数列前n项和运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换． (对应训练一)在等比数列{an}中， (1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n； (2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝eq \f(5,4)，求a4和S5； (3)若a3＝eq \f(3,2)，S3＝eq \f(9,2)，求a1和公比q. 解析　(1)由Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)，an＝a1qn－1以及已知条件， 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(189＝\f(a1－2an,1－2)＝\f(a1－2×96,－1)，,96＝a1·2n－1，))∴a1＝3. 又∵2n－1＝eq \f(96,3)＝32，∴n＝6. (2)设公比为q，由通项公式及已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋a1q2＝10，,a1q3＋a1q5＝\f(5,4)，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a11＋q2＝10，,a1q31＋q2＝\f(5,4).)) eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(①,,②)) ∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝eq \f(1,8)，即q＝eq \f(1,2)，∴a1＝8. ∴a4＝a1q3＝8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝1，S5＝eq \f(a11－q5,1－q)＝eq \f(8×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al