专题二 数列中求通项的常用方法-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）

专题二 数列中求通项的常用方法 基本知识点 一、数列递推公式与通项公式的关系 递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项an－1 (或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系 联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 二、数列的前n项和与通项公式的关系：an＝ 三、给出了递推公式求通项公式的方法 1．求形如an＋1＝an＋f(n)的通项公式：将原来的递推公式转化为an＋1－an＝f(n)，再用累加法(逐差相加法)求解，即an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1)． 2．求形如an＋1＝f(n)an的通项公式：将原递推公式转化为eq \f(an＋1,an)＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由eq \f(a2,a1)＝f(1)，eq \f(a3,a2)＝f(2)，…，eq \f(an,an－1)＝f(n－1)，累乘可得eq \f(an,a1)＝f(1)f(2)…f(n－1)． 3．{an}为周期数列，则周期为T(T为正整数)时，an＝an＋T，可将an转化为a1，a2，…，aT处理． 4．单调性是数列的一个重要性质．若an＋1>an恒成立，则{an}为递增数列；若an＋1<an恒成立，则{an}为递减数列．判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断an＋1与an(n∈N*)的大小．用作差(商)法判断数列增减性的步骤为：①作差(商)；②变形；③定号(与1比较)；④结论． 例题分析 一、数列的函数特性 例1　已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(n,n2＋1)，写出它的前5项，并判断该数列的单调性． 解析　对于公式an＝eq \f(n,n2＋1)，依次取n＝1,2,3,4,5，得到数列的前5项为a1＝eq \f(1,2)，a2＝eq \f(2,5)，a3＝eq \f(3,10)，a4＝eq \f(4,17)，a5＝eq \f(5,26).而an＋1－an＝eq \f(n＋1,n＋12＋1)－eq \f(n,n2＋1)＝eq \f(1－n2－n,[n＋12＋1]n2＋1). 因为n∈N＋，所以1－n2－n<0，所以an＋1－an<0，即an＋1<an，故该数列为递减数列. 答案 递减数列 归纳总结：判断数列的单调性，一般是将其转化为比较相邻两项的大小，常用的方法有作差法和作商法．作商法适用于数列的各项都是同号的数列，用作差法还是作商法视具体情况而定. (对应训练一)数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是(　　) A.eq \f(121,4)　　　　　　 B．30 C．31 D．32 解析　an＝－n2＋11n＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(11,2)))2＋eq \f(121,4)， ∵n∈N＋，∴当n＝5或6时，an取最大值30，故选B. 答案 B (对应训练二)已知数列{an}的通项an＝eq \f(na,nb＋c)(a，b，c都是正实数)，则an与an＋1的大小关系是_____________． 解析 ∵a，b，c均为实数，f(x)＝eq \f(ax,bx＋c)＝eq \f(a,b＋\f(c,x))在(0，＋∞)上是增函数，故数列an＝eq \f(an,bn＋c)在n∈N＋时为递增数列，∴an<an＋1. 答案 an＋1>an 二、累加法求形如an＋1＝an＋f(n)的通项 例2　已知数列{an}，a1＝1，an＝an－1＋eq \f(1,nn－1)(n≥2)，求数列{an}的通项公式． 解析　(1)an＝an－1＋eq \f(1,nn－1) (n≥2)，∴a2－a1＝eq \f(1,2×1)，a3－a2＝eq \f(1,3×2)，a4－a3＝eq \f(1,4×3)，…，an－an－1＝eq \f(1,nn－1) (n≥2)，以上各式相加，得an－a1＝eq \f(1,2×1)＋eq \f(1,3×2)＋eq \f(1,4×3)＋…＋eq \f(1,nn－1).又eq \f(1,nn－1)＝eq \f(1,n－1)－eq \f(1,n)，∴an－a1＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,n－1)－eq \f(1,n)＝1－eq \f(1,n)，∴an＝a1＋1－eq \f(1,n)＝2－eq \f(1,n)＝eq \f(2n－1,n)(n≥2)．a1＝1满足上式，∴an＝eq \f(2n－1,n)(n∈N*). 答案 e