第4讲 复数基础-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册培优课程训练（学生版+教师版）

1、 复数的概念 为了解决负数的开方问题，人们引入了一个新数，叫做虚数单位，规定：，即是的一个平方根，并且把形如的数叫做复数。复数全体所成的集合叫做复数集，一般用字母表示。定义了复数运算后的复数集叫做复数系（域）。 复数通常用字母表示，即．其中叫做复数的实部，记作；叫做复数的虚部，记作．并规定：，．当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数．把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式。 实数集是复数集的真子集，即． 复数可以分类如下： 复数（）． 如果两个复数和的实部和虚部分别相等，即且，那么我们就说这两个复数相等，记作． 如果两个复数都是实数，那么这两个复数具有大小关系；如果两个复数不都是实数，那么这两个复数只有相等和不相等的关系，而不能比较大小。 实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数，也称这两个复数互相共轭。复数的共轭复数用来表示，也就是当时，． 对于复数，我们把称为该复数的模（或绝对值），记作，即．复数的模是一个非负实数，当且仅当时，．特别地，若，则且，这就是实数的绝对值。由可知 ，即． 练习1. 设是虚数，，且，求的实部的取值范围。 解：设 是实数， 又， ，即的实部的取值范围是 练习2. 若，，求． 解： 又 设，则 ，即 由复数相等的充要条件得，解得 练习3. 已知关于的方程有实根，求这个实根以及实数的值。 解：设是方程的实根，代入方程并整理得 由复数相等的条件得 计算得出或 因此方程的实根为或 相应的的值为或 练习4. 已知方程有实根，求实根的取值范围。 解：设为方程的一个实根，则 又有 则 因此实根的取值范围是 2、 复数的代数运算 1. 复数的加减法 复数的加（减）法规定为：． 两个复数的和（差）仍然是一个复数，它的实部是原来两个复数实部的和（差），它的虚部是原来两个复数虚部的和（差）。 复数的加法满足交换律和结合律。 2. 复数的乘除法 复数的乘法规定为：． 复数的除法规定为：． 复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律。 3. 复数乘法及开方 复数的乘方运算是指几个相同的复数相乘。因为复数的乘法满足交换律与结合律，所以实数集中正整数指数幂的运算法则在复数集中仍然成立。 复数的开方是乘方的逆运算。如果复数满足：（），则称是的一个次方根。 练习5. 计算． 解：原式= 练习6. 计算：． 解：利用的周期来解题： 原式= = 练习7. 若复数满足，求证． 证明：令 练习8. 求同时满足下列两个条件的复数： （1）；（2）的实部、虚部都是整数。 解：设，从而可转化为。 由，可知 的实部、虚部都是整数 是整数，即只能取2,4,6. 由是整数，知只能取2,6. 满足条件的复数为或或或 练习9. 已知虚数使得和（其中表示，下同）都是实数，求． 解： 化为： ① 化为： ② 将②代入①得：，即 和都是实数 或 $1、 复数的概念 为了解决负数的开方问题，人们引入了一个新数，叫做虚数单位，规定：，即是的一个平方根，并且把形如的数叫做复数。复数全体所成的集合叫做复数集，一般用字母表示。定义了复数运算后的复数集叫做复数系（域）。 复数通常用字母表示，即．其中叫做复数的实部，记作；叫做复数的虚部，记作．并规定：，．当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数．把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式。 实数集是复数集的真子集，即． 复数可以分类如下： 复数（）． 如果两个复数和的实部和虚部分别相等，即且，那么我们就说这两个复数相等，记作． 如果两个复数都是实数，那么这两个复数具有大小关系；如果两个复数不都是实数，那么这两个复数只有相等和不相等的关系，而不能比较大小。 实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数，也称这两个复数互相共轭。复数的共轭复数用来表示，也就是当时，． 对于复数，我们把称为该复数的模（或绝对值），记作，即．复数的模是一个非负实数，当且仅当时，．特别地，若，则且，这就是实数的绝对值。由可知 ，即． 练习1. 设是虚数，，且，求的实部的取值范围。 练习2. 若，，求． 练习3. 已知关于的方程有实根，求这个实根以及实数的值。 练习4. 已知方程有实根，求实根的取值范围。 2、 复数的代数运算 1. 复数的加减法 复数的加（减）法规定为：． 两个复数的和（差）仍然是一个复数，它的实部是原来两个复数实部的和（差），它的虚部是原来两个复数虚部的和（差）。 复数的加法满足交换律和结合律。 2. 复数的乘除法 复数的乘法规定为：． 复数的除法规定为：． 复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律。 3. 复数乘法及开方 复数的乘方运算是指几个相同的复数相乘。因为复数的乘法满足交换律与结合律，所以实数集中正整数指数幂的运