第二十七章 专题训练(三) 相似三角形的基本模型-【黄冈金牌之路·练闯考】2020-2021学年九年级下册初三数学（人教版）教用

专题训练(三)　相似三角形的基本模型 一、模型１———X 字型及其变形 １．如图,在矩形 ABCD 中,AB＝６,BC＝８,点 E 在对角 线BD 上,且 BE＝６,连接 AE 并延长交DC 于点F, 则CF 等于(A ) 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　A．２ B．３ C．４ D．５ (第１题图) 　　　 (第２题图) ２．如图,∠ADE ＝ ∠ACB,BD ＝８,CE ＝４,CF ＝２,则 DF 的长为４． ３．如图,将一副三角尺叠放在一起,则 BE EC 的值是 ３ ３ ． (第３题图) 　　 (第４题图) 二、模型２———A 字型及其变形 ４．如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在△ABC 的边AB, AC 上,不 一 定 能 使 △ADE 与 △ABC 相 似 的 条 件 是 (C ) A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． AE AB ＝ DE BC D． AD AC ＝ AE AB ５．如图,点B,C,D 在同一直线上,△ABC 和△DCE 都 是等边三角形,且在直线 BD 的同侧,BE 交AD 于点 F,BE 交AC 于点 M ,AD 交CE 于点N．求证: (１)BE＝AD; (２)△ABF∽△ADB． 证 明:(１)∵ △ABC 与 △DCE 都 是 等 边 三 角 形, ∴AC ＝ BC,CD ＝ CE, ∠ACB ＝ ∠DCE ＝ ６０°, ∴∠ACB ＋ ∠ACE ＝ ∠DCE＋∠ACE,即 ∠BCE ＝ ∠ACD．在 △BCE 和 △ACD 中, BC＝AC, ∠BCE＝∠ACD, CE＝CD, ì î í ïï ïï ∴△BCE ≌ △ACD (SAS),∴BE ＝AD．(２)由 (１)知 △BCE ≌ △ACD, ∴∠CBE ＝ ∠CAD, 又 ∵ ∠BMC ＝ ∠AMF, ∴∠AFB＝ ∠ACB ＝６０°＝ ∠ABC,又 ∵ ∠BAF ＝ ∠BAD,∴△ABF∽△ADB． 三、模型３———双垂型及其变形 ６．如图,在 Rt△ABC 中,CD⊥AB,点 D 为 垂足,且 AD ＝３,AC＝３ ５,则 斜 边 AB 的长为(B ) A．３ ６ B．１５ C．９ ５ D．３＋３ ５ ７．如图,在 △ABC 中,AB ＝AC,AD ⊥BC 于 点 D,作 DE⊥AC 于点E,F 是AB 中点,连接EF 交AD 于点G． (１)求证:AD２＝AB􀅰AE; (２)若 AB＝３,AE＝２,求 AD AG 的值． 解:(１)证明:∵AD ⊥BC,DE⊥AC, ∴∠ADC＝ ∠AED ＝９０°,∵ ∠DAE ＝ ∠CAD,∴△ADE ∽ △ACD, ∴ AD AC ＝ AE AD ,∴AD２ ＝AC 􀅰AE, ∵AB＝AC,∴AD２＝AB􀅰AE． (２)如图,连接 DF．∵AB＝３,∠ADB ＝９０°,F 是 AB 中 点,∴DF＝ １ ２ AB ＝ ３ ２ ,∵AB＝AC,AD⊥BC,∴BD ＝ DC,∴DF∥AC,∴ DF AE ＝ DG AG ＝ ３ ２ ２ ＝ ３ ４ ,∴ AD AG ＝ ７ ４ ． 四、模型４———一线三等角型 ８．如图,在矩形ABCD 中,AB＝６,AD＝１２,点E 在AD 边上,且 AE＝８,EF⊥BE 交CD 于点F． (１)求证:△ABE∽△DEF; (２)求CF 的长． 解:(１)证 明:∵EF ⊥BE,∴ ∠FEB ＝ ９０°,∴∠DEF＋∠AEB＝９０°．∵四边形 ABCD 为 矩 形,∴∠A ＝ ∠D ＝９０°, ∴∠AEB＋ ∠ABE ＝９０°,∴∠DEF ＝ ∠ABE,∴△ABE ∽ △DEF．(２)∵AD ＝１２,AE＝８,∴DE＝４．由(１)知△ABE ∽ △DEF,∴ AE DF ＝ AB DE ,∴ ８ DF ＝ ６ ４ , ∴DF＝ １６ ３ ,∵四边形ABCD 为矩形,AB＝６,∴CD＝ ６,∴CF＝CD－DF＝６－ １６ ３ ＝ ２ ３ ． 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀅰３２􀅰 第二十七章　　　　　　　 $