第二十七章 专题训练(四) 比例式、等积式的证明 27.2.2相似三角形的性质 27.2.3相似三角形应用举例-【黄冈金牌之路·练闯考】2020-2021学年九年级下册初三数学（人教版）教用

专题训练(四)　比例式、等积式的证明 一、三点定型法 １．如图,AD,BE 分别是钝角△ABC 的边BC,AC 上的 高,求证:AD BE ＝ AC BC ． 证明:∵AD,BE 分 别 是 钝 角 △ABC 的边BC,AC 上 的 高,∴ ∠D ＝ ∠E ＝ ９０°,∵ ∠ACD＝ ∠BCE,∴ △ACD ∽ △BCE,∴ AD BE ＝ AC BC ． ２．如图,在 ▱ABCD 中,E 是 AB 延 长 线 上 的 一 点,DE 交BC 于点F．求证: CD AE ＝ CF AD ． 证 明:∵ 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形,∴AE ∥DC, ∠C ＝ ∠A,∴ ∠CDF ＝ ∠E,∴△CDF∽△AED,∴ CD AE ＝ CF AD ． ３．如 图,在 △ABC 中,∠BAC＝９０°,M 为BC 的 中 点, DM ⊥BC 交CA 的延长线于点 D,交 AB 于点E,连 接 AM ．求证:AM２＝MD􀅰ME． 证 明:由 两 角 相 等 证 △AME ∽ △DMA,得 AM MD ＝ ME AM ,∴AM２ ＝ MD􀅰ME． 二、等线段代换法 ４．如图,四边形ABCD 是平行四边形,点E 在边BA 的延 长线上,CE 交 AD 于点 F,∠ECA＝∠D．求证:AC􀅰 BE＝CE􀅰AD． 证明:∵ 四边形 ABCD 是 平行四边形,∴BC＝AD, CD ∥ AB,AD ∥ BC, ∴∠D＝∠DAE＝ ∠B,∵∠ECA ＝ ∠D,∴ ∠ECA ＝∠B,又∵∠E＝∠E,∴△EAC∽△ECB,∴ AC BC ＝ CE BE ,∴AC 􀅰BE ＝CE 􀅰BC,∵BC ＝AD,∴AC 􀅰 BE＝CE􀅰AD． ５．如图,等腰△ABC 中,AB＝AC,AD⊥BC 于点D,点 P 是AD 上一点,CF∥AB,延长 BP 交AC 于点E, 交CF 于点F,求证:BP２＝PE􀅰PF． 证 明:如 图,连 接 PC,∵AB ＝ AC,AD ⊥BC,∴AD 垂 直 平 分 BC,∠ABC＝ ∠ACB,∴ BP ＝ CP,∴∠１ ＝ ∠２,∴ ∠ABC － ∠１＝∠ACB－ ∠２,即 ∠３＝ ∠４, ∵ CF ∥ AB, ∴∠３＝ ∠F, ∴∠４＝ ∠F,又 ∵ ∠CPF ＝ ∠EPC,∴ △CPF ∽ △EPC, ∴ CP PE ＝ PF CP ,即 CP２＝PE􀅰PF, ∵BP＝CP,∴BP２＝PE􀅰PF． 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀅰４２􀅰 　　　　　　　九年级数学（下）（配人教地区使用） ６．如 图,等 腰 △ABC 中,AB ＝AC,D 是 BC 的 中 点, ∠EDF＝∠B． 求证:(１) BE CD ＝ DE DF ; (２)△BDE∽△DFE． 证明:(１)∵AB＝AC,∴∠C＝∠B, ∵ ∠EDC ＝ ∠B ＋ ∠BED, ∴∠EDF ＋ ∠FDC ＝ ∠B ＋ ∠BED,又 ∵ ∠EDF ＝ ∠B, ∴∠FDC＝ ∠BED,∴ △BDE ∽ △CFD,∴ BE CD ＝ DE DF ．(２)∵D 是BC 的中点,∴BD＝CD,由(１),得 BE CD ＝ DE DF ,∴ BE BD ＝ DE DF ,即BE DE ＝ BD DF ,又∵∠EDF＝∠B, ∴△BDE∽△DFE． ７．如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与BD 交 于点O,点E 是DB 延长线上的一点,且 EA＝EC,分 别延长 AD,EC 交于点F． (１)求证:四边形 ABCD 为菱形; (２)如 果 ∠AEC ＝２∠BAC,求 证:EC 􀅰CF ＝AF 􀅰 AD． 证明:(１)∵ 四边形 ABCD 是 平 行 四 边 形,∴OA ＝OC,又 ∵EA ＝EC,∴EO ⊥ AC, ∴平行四边形 ABCD 是菱形． (２)∵ 四 边 形 ABCD 为 菱 形,∴ ∠BAC ＝ ∠BCA ＝ ∠DAC＝∠DCA,CD＝AD,又∵∠AEC＝２∠BAC, ∴∠CDF＝∠DAC＋∠DCA＝２∠BAC＝∠AEF,又 ∵ ∠DFC ＝ ∠AFE,∴ △FCD ∽ △FAE,∴ FC FA ＝ CD