第二十七章 专题训练(五) 相似三角形与二次函数、反比例函数的综合-【黄冈金牌之路·练闯考】2020-2021学年九年级下册初三数学（人教版）教用

专题训练(五)　相似三角形与二次函数、反比例函数的综合 一、相似三角形与二次函数的综合 １．如图,已知抛物线y＝－ １ ４ x２＋x－１的顶点为 A,与 y 轴的交点为B,AB⊥AC,交抛物线于 C 点,求点 C 的坐标． 解:易 得 A (２,０),B(０,－１), ∴AO＝２,OB＝１,设点C 的横 坐标为 x,则 C(x,－ １ ４ x２ ＋ x－１),过点C 作CD⊥x 轴于 点 D,图 略．可 证 △AOB ∽ △CDA, ∴ AO OB ＝ CD DA , 又 － １ ４ x２＋x－１＜０,∴ ２ １ ＝ －(－ １ ４ x２＋x－１) x－２ ,解 得 x１＝１０,x２＝２(舍 去),∴y＝ － １ ４ ×１０２ ＋１０－１＝ －１６,∴点C 的坐标为(１０,－１６)． ２．如图,抛物线y＝x２－４x＋３与坐标轴交于 A,B,C 三 点,点 P 为抛物线上一点,PE⊥BC 于点 E,且 CE＝ ３PE,求点 P 的坐标． 解:过 点 E 作EM ⊥CO 于 点 M ,过 点 P 作PN ⊥ME 的 延 长 线 于 点 N ,图 略．易 得 △CEM ∽ △EPN ,△CME ∽ △COB,CO ＝OB,∴CM ＝ EM ,设 EM ＝３k,∵ CE ＝ ３PE,∴ PN ＝ EN ＝ k, ∴P(４k,３－２k),∵点 P 在抛物线上,∴３－２k＝１６k２ －１６k＋３,解得k１＝０(舍去),k２＝ ７ ８ ,∴点 P 的坐标 为(７ ２ ,５ ４ )． ３．如图,直线y＝－x＋３交x 轴于点A,交y 轴于点B, 抛物线y＝ax２＋bx＋c 经过A,B,C(１,０)三点． (１)求抛物线的解析式; (２)若点 D 的坐标为(－１,０),在直线y＝ －x＋３ 上 有一点 P,使得△ABO 与△ADP 相似,求出点 P 的坐标． 解:(１)∵y＝ －x＋３ 交 x 轴 于 点 A,交 y 轴 于 点 B, ∴A(３,０),B (０,３),把 A (３, ０),B(０,３),C(１,０)三点坐标 分别代 入y＝ax２ ＋bx＋c,得 ９a＋３b＋c＝０, c＝３, a＋b＋c＝０,{ 解 得 a＝１, b＝－４, c＝３,{ ∴抛物线的解析式为y＝x２－４x＋３．(２)易得 △ABO 为等腰直角三角形．如图,若△ABO∽△AP１D,则 AO AD ＝ OB DP１ ,∴ DP１ ＝ AD＝ ４, ∴P１(－１,４); 若 △ABO ∽ △ADP２,过 点 P２ 作 P２M ⊥ x 轴 于 点 M ,∵ △ABO 为 等 腰 直角三角形,∴ △ADP２ 是 等 腰 直 角 三 角 形,由 三 线 合 一,得 DM ＝AM ＝２＝P２M ,即点 M 与点C 重合,∴P２(１, ２)．综上,点 P 的坐标为(－１,４)或(１,２)． ４．如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y＝－x２＋ bx＋c 与x 轴相交于点A(－１,０)和点B,与y 轴相交 于点 C(０,３),抛 物 线 的 顶 点 为 点 D,连 接 AC,BC, DB,DC． (１)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标; (２)求证:△ACO∽△DBC; (３)如果点 E 在x 轴上,且在点 B 的右侧,∠BCE＝ ∠ACO,求点E 的坐标． 解:(１)∵抛物线y＝ －x２＋bx ＋c 经过点 A(－１,０),C(０,３), ∴ －１－b＋c＝０, c＝３,{ 解 得 b＝２, c＝３,{ ∴抛物 线 的 解 析 式 为y＝ －x２ ＋２x＋３,∴ 顶 点 D 的 坐 标 为 (１,４)．(２)∵当y＝０时,－x２＋ ２x＋３＝０,解 得 x１ ＝ －１,x２ ＝３,∴B (３,０),又 ∵ A(－１,０),D (１,４),∴DC ＝ ２,BC ＝３ ２,BD ＝ ２ ５,AO＝１,CO＝３,∴DC２＋BC２＝BD２,∴△BCD 是直角三角形,且 ∠BCD ＝９０°,∴ ∠AOC＝ ∠DCB, 又∵ AO DC ＝ ２ ２ ,CO BC ＝ ２ ２ ,∴ AO DC ＝ CO BC ,∴ △ACO ∽ △DBC． (３)如图,设 CE 与 BD 交 于 点 M ． ∵ △ACO ∽ △DBC, ∴∠DBC ＝ ∠ACO, 又 ∵ ∠BCE＝∠ACO,∴∠DBC＝ ∠BCE,∴MC＝MB, ∵△BCD 是直角三角形,∴∠BCM ＋∠DCM ＝９０°＝ ∠CBM ＋∠D,∴∠DCM ＝∠D,∴MC＝MD,∴DM ＝BM ,即点 M 是BD 的 中 点,∵B (３,０),D (１,４), ∴M (２,２),设 直 线 CE 的 解 析 式 为y ＝kx ＋b,则 b＝３, ２k＋b＝２,{ 解得 k＝－ １ ２ , b＝３,{ ∴直 线 CE 的 解 析 式 为