第二十七章 专题训练(六) 相似三角形与圆的综合-【黄冈金牌之路·练闯考】2020-2021学年九年级下册初三数学（人教版）教用

专题训练(六)　相似三角形与圆的综合 １．如图,AB 是半圆O 的直径,D,E 是半圆上任意两点, 连接 AD,DE,AE 与BD 相交于点C,要使△ADC 与 △ABD 相似,可以添加一个条件,下列添加的条件其 中错误的是(D ) 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE C．AD２＝BD􀅰CD D．AD􀅰AB＝AC􀅰BD (第１题图) 　 　 (第２题图) ２．如图,边长为２的正方形 ABCD 中,P 是CD 的中点, 连接 AP 并延长交BC 的延长线于点F,作△CPF 的 外接圆☉O,连接BP 并延长交☉O 于点E,连接 EF, 则EF 的长为(D ) A． ３ ２ B． ５ ３ C． ３ ５ ５ D． ４ ５ ５ ３．如 图,BG,BF,CE 切 ☉O 于 点G,F,D,那 么 下 列 结 论 正 确 的有(B ) ①BG＋BF＝BC＋CE＋BE; ②BD􀅰BH ＝BF􀅰BG; ③△BDE∽△BFH ． A．３个 B．２个 C．１个 D．０个 ４．如图,已知BC 是☉O 的直径,点D 为BC 延长线上一 点,点 A 为圆上一点,且 AB＝AD,AC＝CD． 求证:(１)△ACD∽△BAD; (２)AD 是☉O 的切线． 证明:(１)∵AB＝AD,∴ ∠B＝ ∠D,∵AC ＝CD,∴∠CAD ＝ ∠D,∴∠CAD＝∠B,∵∠D＝ ∠D,∴△ACD∽△BAD．(２)如 图,连 接 OA,∵ OA＝ OB, ∴∠B＝∠OAB,由(１)知∠B＝ ∠CAD,∴ ∠OAB ＝ ∠CAD, ∵BC是 ☉O 的 直 径,∴ ∠BAC ＝９０°,即∠OAB ＋ ∠OAC＝９０°,∴ ∠CAD ＋ ∠OAC ＝９０°,∴OA⊥AD,∴AD是☉O 的切线． ５．如 图,AB 是 ☉O 的 直 径,BP 是 ☉O 的 弦,弦 CD ⊥ AB 于点F,交 BP 于点G,点 E 在DC 的延长线上, EP＝EG． (１)求证:直线EP 为☉O 的切线; (２)点 P 在劣弧AC 上运动,其他条件不变,若BG２＝ BF􀅰BO,证明:BG＝PG． 证明:(１)连接 PO,图略．∵EP＝ EG,∴ ∠EPG ＝ ∠EGP,又 OP ＝OB,∴∠OPB＝∠PBO,∵CD ⊥AB,∴∠PBO＋∠BGF＝９０°, 又∵ ∠PGE＝ ∠BGF,∴ ∠EPG ＋∠OPB＝９０°,∴OP⊥EP,∴ 直线 EP 为 ☉O 的切 线．(２)连 接 OG,图 略．∵BG２ ＝BF 􀅰BO,∴ BG BF ＝ BO BG ,又 ∠GBF＝ ∠OBG,∴ △BGF ∽ △BOG, ∴∠OGB＝∠GFB＝９０°,∴OG⊥PB,∴BG＝PG． ６．(２０２０􀅰永州)如图,△ABC 内接于☉O,AB 是☉O 的 直径,BD 与☉O 相切于点B,BD 交AC 的延长线于 点D,E 为BD 的中点,连接CE． (１)求证:CE 是☉O 的切线; (２)已知BD＝３ ５,CD＝５,求O,E 两点之间的距离． 解:(１)证 明:如 图,连 接 OC． ∵OB＝OC,∴ ∠OBC ＝ ∠OCB, ∵AB 是直径,∴∠ACB＝９０°,又∵ E 为 BD 的 中 点,∴BE ＝CE ＝ DE,∴ ∠ECB ＝ ∠EBC．∵BD 与 ☉O 相切 于 点B,∴ ∠ABD ＝９０°, ∴∠OBC＋∠EBC＝９０°,∴∠OCB ＋ ∠ECB ＝９０°,∴ ∠OCE ＝９０°, ∴OC⊥CE,又∵OC 为半径,∴CE 是☉O 的 切 线．(２)如 图,连 接 OE, ∵ ∠D ＝ ∠D,∠BCD ＝ ∠ABD, ∴△BCD ∽ △ABD,∴ BD AD ＝ CD BD , ∴BD２ ＝AD 􀅰CD,∴ (３ ５)２ ＝ ５AD,∴AD＝９,∵E为BD 的中点,AO＝BO,∴OE ＝ １ ２ AD＝ ９ ２ ,∴O,E 两点之间的距离为 ９ ２ ． 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀅰６３􀅰 　　　　　　　九年级数学（下）（配人教地区使用） ７．如图,在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,BE 平分 ∠ABC 交 AC 于 点 E,作