第二十八章 28.2 解直角三角形及其应用-【黄冈金牌之路·练闯考】2020-2021学年九年级下册初三数学（人教版）教用

２８．２　解直角三角形及其应用 ２８．２．１　解直角三角形 １．在 Rt△ABC 中,∠C 为 直 角,∠A,∠B,∠C 所 对 的 边分别为a,b,c,那么除直角∠C 外的五个元素之间 有如下关系: (１)三边之间的关系a２＋b２＝c２; (２)两锐角之间的关系∠A＋∠B＝９０°; (３)边角之间的关系:sinA＝ a c ,cosA＝ b c ,tanA＝ a b ． ２．由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过 程,叫做解直角三角形． ３．解直角三角形的条件是必须知道除直角外的两个元素 且至少有一个是边． 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　练习 １:在 Rt△ABC 中,∠C ＝９０°,BC ＝ ５,AC ＝ １５,则∠B 的度数为(B ) A．９０° B．６０° C．４５° D．３０° 练习２:在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,c＝３０,∠A＝６０°,则 a＝１５ ３,b＝１５,∠B＝３０°． 知识点一:已知两条边解直角三角形 １．在 Rt△ABC 中,∠C ＝９０°,b＝８ ２,c＝１６,则∠A＝ ４５°． ２．在 Rt△ABC 中,∠C ＝９０°,a＝１０,c＝２０,则 b＝ １０ ３,∠A＝３０°,∠B＝６０°． ３．在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,b＝３,S△ABC ＝ ９ ２ ３,解这 个直角三角形． 解:如 图,∵ 在 Rt△ABC 中,∠C ＝９０°, b＝３,S△ABC ＝ ９ ２ ３,∴ １ ２ ab＝ ９ ２ ３,∴a＝ ３ ３,∴tanA ＝ a b ＝ ３ ３ ３ ＝ ３,∴ ∠A ＝ ６０°,∴ ∠B ＝１８０°－ ∠A － ∠C ＝１８０°－６０°－９０°＝ ３０°,∴c＝２b＝６． 知识点二:已知一锐角和一边解直角三角形 ４．在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,AB ＝１２,cosA ＝ １ ３ ,则 AC 等于(C ) A．３６ B． １ ３６ C．４ D． １ ４ ５．如 图 是 教 学 用 的 直 角 三 角 板,边 AC＝３０cm,∠C ＝９０°,tan A ＝ ３ ３ ,则边BC 的长为(C ) A．３０ ３cm B．２０ ３cm C．１０ ３cm D．５ ３cm ６．在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,∠A,∠B,∠C 所对的 边 分别为a,b,c,根据下列条件解直角三角形． (１)c＝２０,∠A＝４５°; (２)a＝３６,∠B＝３０°． 解:(１)∵ 在 Rt△ABC 中,∠C ＝９０°,∠A ＝４５°, ∴∠B＝１８０°－ ∠C － ∠A ＝４５°＝ ∠A,∴a＝b＝ sinA􀅰c＝ ２ ２ ×２０＝１０ ２,即 ∠B ＝４５°,a＝b＝ １０ ２．(２)∵ 在 Rt△ABC 中,∠C ＝９０°,∠B ＝３０°, ∴∠A＝１８０°－∠C－ ∠B＝６０°,∵cosB＝ a c ,∴c＝ a cosB ＝３６÷ ３ ２ ＝２４ ３,∵tanB＝ b a ,∴b＝a􀅰tanB ＝３６× ３ ３ ＝１２ ３,即∠A＝６０°,b＝１２ ３,c＝２４ ３． 知识点三:构造直角三角形求边(角) ７．如图,在△ABC 中,BC＝１２,tanA＝ ３ ４ ,∠B＝３０°．求 AC 和AB 的长． 解:作CH ⊥AB 于点 H ,图 略．在 Rt △BCH 中, ∵∠CHB ＝９０°,BC ＝１２, ∠B＝３０°,∴CH ＝ １ ２ BC＝ ６,BH ＝ BC２－CH２ ＝６ ３,在Rt△ACH 中,tanA＝ ３ ４ ＝ CH AH ,∴AH ＝８,∴AC＝ AH２＋CH２ ＝１０,AB ＝AH ＋BH ＝８＋６ ３． 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀅰６４􀅰 　　　　　　　九年级数学（下）（配人教地区使用） ８．如 图,在 平 面 直 角 坐 标 系 内,射 线 OA 与x 轴正半轴的夹角为α,如果 OA ＝ １０,tanα＝３,那 么 点 A 的 坐 标 是 (A ) A．(１,３) B．(３,１) C．(１,１０) D．(３,１０) ９．(２０２０􀅰安徽)如图,Rt△ABC 中,∠C＝９０°,点 D 在 AC 上,∠DBC＝ ∠A．若 AC＝４,cosA ＝ ４ ５ ,则 B