第二十八章 专题训练(七) 锐角三角函数与圆的综合-【黄冈金牌之路·练闯考】2020-2021学年九年级下册初三数学（人教版）教用

专题训练(七)　锐角三角函数与圆的综合 １．如图,已知☉O 的半径为１,锐角三角形 ABC 内接于 ☉O,BD ⊥ AC 于 点 D,OM ⊥ AB 于 点 M ,则 sin∠CBD的值等于(A ) 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　A．OM 的长 B．２OM 的长 C．CD 的长 D．２CD 的长 (第１题图) 　　　 (第２题图) ２．如图,AB 是☉O 的直径,点 C 在AB 的延长线上,过 点C 作☉O 的切线CD,切点为点 D,连接 AD．若☉O 的半径为６,tanC＝ ３ ４ ,则线段 AC 的长为(C ) A．１０ B．１２ C．１６ D．２０ ３．如图,AB 是 半 圆 的 直 径,点 O 为 圆 心,OA ＝５,弦 AC ＝８,OD ⊥ AC,垂 足 为 点 E,交 ☉O 于 点 D, 连接BE．设∠BEC＝α,则sinα 的 值为 ３ １３ １３ ． ４．如图,在△ABC 中,AB＝AC,O 为BC 的中点,AC 与 半圆O 相切于点D． (１)求证:AB 是半圆O 所在圆的切线; (２)若cosB＝ ２ ３ ,AB＝１２,求半圆O 所在圆的半径． 解:(１)证明:如图,作 OE⊥AB 于 点E,连接 OD,OA,∵AB＝AC, O 是 BC 的 中 点,∴ ∠CAO ＝ ∠BAO,∵AC与半圆O 相切于点 D,∴OD ⊥AC,又 OE ⊥AB,∴ OD＝OE,即OE 是半圆O 所在圆 的半径,∴AB 是半圆O 所在圆的 切线．(２)∵AB＝AC,O 是BC 的 中 点,∴AO ⊥BC,在 Rt△AOB 中,OB＝AB 􀅰cosB ＝１２× ２ ３ ＝ ８,根据勾股定理,得OA＝ AB２－OB２ ＝４ ５,由三角 形的面积公式,得S△AOB ＝ １ ２ AB􀅰OE＝ １ ２ OB􀅰OA, ∴OE＝ OB􀅰OA AB ＝ ８ ５ ３ ,∴ 半 圆 O 所 在 圆 的 半 径 为 ８ ５ ３ ． ５．如图,点O 是△ABC 的边AB 上一点,☉O 与边 AC 相 切于点E,与边 BC,AB 分别相交于点 D,F,且 DE＝ EF． (１)求证:∠C＝９０°; (２)当BC＝３,sinA＝ ３ ５ 时,求 AF 的长． 解:(１)证 明:连 接 OE,BE,图 略． ∵DE ＝ EF, ∴ DE ︵ ＝ EF ︵, ∴∠OBE＝∠DBE,∵OE＝OB, ∴ ∠OEB ＝ ∠OBE,∴ ∠OEB ＝ ∠DBE,∴OE ∥BC,∵ ☉O 与 边 AC 相切于 点 E,∴OE ⊥AC,∴BC ⊥AC,∴ ∠C ＝ ９０°．(２)在 △ABC 中,∠C＝９０°,BC＝３,sinA ＝ ３ ５ , ∴AB＝５,设 ☉O 的 半 径 为r,则 AO ＝ ５－r,在 Rt△AOE中,sinA＝ OE OA ＝ r ５－r ＝ ３ ５ ,∴r＝ １５ ８ ,∴AF ＝５－２× １５ ８ ＝ ５ ４ ． ６．如 图,△ABC 中,AB ＝AC,以 AC 为 直 径 的 ☉O 交 BC 于点D,交AB 于点E,点F 为AC 延长线上一点, 连接 DF,∠BAC＝２∠CDF． (１)求证:DF 是☉O 的切线; (２)连接 DE,求证:DE＝DB; (３)若cosB＝ １ ３ ,CF＝２,求☉O 的半径． 解:(１)证明:如图,连接 AD,OD, ∵AC 为☉O 的直径,∴∠ADC＝ ９０°,∴∠ADO ＋ ∠CDO ＝９０°, ∵AB＝AC,∴∠BAD＝∠CAD, ∴ ∠BAC ＝２∠CAD,∵ ∠BAC ＝２∠CDF,∴∠CAD ＝ ∠CDF, 又 OA ＝ OD, ∴ ∠OAD ＝ ∠ODA,∴∠ODC ＋ ∠CDF ＝ ９０°,∴∠ODF＝９０°,∴DF 是☉O 的切线．(２)证明:如图,连接 DE, ∵AB ＝AC,∴ ∠B ＝ ∠ACD, ∵∠BED＝ ∠ACD,∴ ∠BED ＝ ∠B,∴DE＝DB．(３)∵∠DAC＝ ∠CDF,∠F ＝ ∠F,∴ △DCF ∽ △ADF,∴ DF AF ＝ CF DF ＝ CD AD ,设 CD ＝k,∵ ∠B ＝ ∠ACD,cosB＝ １ ３ ,∴cos∠ACD＝ CD AC ＝ １ ３ ,∴AC＝ ３k,∴AD ＝ AC２－CD２ ＝２ ２k,∴ DF AF ＝ CF DF ＝ k ２ ２k ＝ ２ ４ ,∵CF ＝２,∴DF ＝４ ２,∴AF ＝１６, ∴AC＝AF－CF＝１４,∴AO＝ １ ２ AC＝７,即☉O 的半 径是７． 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨