第二十八章 专题训练(八) 锐角三角函数与函数的综合-【黄冈金牌之路·练闯考】2020-2021学年九年级下册初三数学（人教版）教用

专题训练(八)　锐角三角函数与函数的综合 一、锐角三角函数与一次函数的综合 １．一次函数y＝ax＋b 的图象过点P(１,２),且与x 轴交 于点A,与y 轴交于点B,若tan∠PAO＝ １ ２ ,则点 B 的坐标是(０, ３ ２ )或(０, ５ ２ )． ２．如图,直线y＝ ３ ４ x＋３交x 轴于 点A,将一块等 腰 直 角 三 角 形 纸 板的直角顶点置于原 点 O,另 两 个顶点 M ,N 恰好落在直线y＝ ３ ４ x＋３ 上,若 点 N 在 第 二 象 限 内,则tan∠AON 的值为 １ ７ ． 点拨:如 图,过 点 O 作 OC ⊥AB 于 点C,过 点 N 作 ND⊥OA 于点D,∵点 N 在直线 y＝ ３ ４ x＋３ 上,∴ 设点 N 的坐标 是(x, ３ ４ x＋３),则 DN ＝ ３ ４ x＋３, OD＝－x,易得 A(－４,０),B(０, ３),即 OA ＝ ４,OB ＝ ３,在 Rt△AOB中,由勾股定理,得 AB＝５,由三角形的面积 公式,得 S△AOB ＝ １ ２ AO ×OB ＝ １ ２ AB ×OC,∴ １ ２ × ３×４＝ １ ２ ×５OC,∴OC＝ １２ ５ ,∵在 Rt△NOM 中,OM ＝ON ,∠MON ＝９０°,∴ ∠MNO＝４５°,在 Rt△OCN 中,sin ４５°＝ OC ON ＝ １２ ５ ON ＝ ２ ２ ,∴ON ＝ １２ ２ ５ ,在 Rt△NDO中,由 勾 股 定 理,得 ND２ ＋DO２ ＝ON２,即 (３ ４ x＋３)２＋(－x)２＝( １２２ ５ )２,解得x１＝－ ８４ ２５ ,x２＝ １２ ２５ , ∵点 N 在第二象限,∴x 只能是－ ８４ ２５ ,∴y＝ ３ ４ x＋３＝ １２ ２５ ,即 ND＝ １２ ２５ ,OD＝ ８４ ２５ ,∴tan∠AON＝ ND OD ＝ １ ７ ． ３．如图,已知一 次 函 数y＝kx＋b 的 图 象 经 过 A (－２, －１),B(１,３)两点,并且交x 轴于点C,交y 轴于点D． (１)求该一次函数的解析式; (２)求tan∠OCD 的值; (３)求证:∠AOB＝１３５°． 解:(１)把 A (－２,－１), B(１,３)代入y＝kx＋b, 得 －２k＋b＝－１ , k＋b＝３,{ 解 得 k＝ ４ ３ , b＝ ５ ３ , ì î í ï ï ï ï ∴y＝ ４ ３ x＋ ５ ３ ． (２)由y＝ ４ ３ x＋ ５ ３ 易得 C(－ ５ ４ ,０),D(０, ５ ３ ),∴OD ＝ ５ ３ ,OC ＝ ５ ４ ,在 Rt△OCD中,tan∠OCD ＝ OD OC ＝ ４ ３ ．(３)证 明:如 图,取点 A 关 于 原 点 的 对称点E(２,１),则问题 转 化 为 求 证 ∠BOE ＝ ４５°．易得OE＝ ５,BE＝ ５,OB＝ １０,∴OB２＝OE２ ＋BE２,∴△EOB 是 等 腰 直 角 三 角 形,∠E ＝９０°, ∴∠BOE＝４５°,∴∠AOB＝１３５°． 二、锐角三角函数与反比例函数的综合 ４．如 图,矩 形 ABCD 的 顶 点A,B 在x 轴 的 正 半 轴上,反比例函数y＝ k x (k≠０)在第一象限内的 图 象 经 过 点 D,交 BC 于点E．若AB＝４,CE＝２BE,tan∠AOD＝ ３ ４ ,则k 的 值为３． ５．如图,在平面直角坐标系中,一次函数y＝ax＋b(a≠ ０)的图象与反比例函数y＝ k x (k≠０)的图象交于 A, B 两点,与x 轴交于点C,过点 A 作AH ⊥x 轴于点 H ,点O 是线段CH 的中点,AC＝４ ５,cos∠ACH ＝ ５ ５ ,点B 的坐标为(４,n)． (１)求该反比例函数和一次函数的解析式; (２)求△BCH 的面积． 解:(１)∵AH ⊥x 轴于点 H ,AC ＝４ ５,cos∠ACH ＝ ５ ５ ,∴ 在 Rt△ACH 中,cos∠ACH ＝ HC AC ＝ ５ ５ ,即 HC ４ ５ ＝ ５ ５ ,解 得 HC＝ ４,∴AH ＝ AC２－HC２ ＝８, ∵点O 是 线 段 CH 的 中 点, ∴HO＝CO＝２,∴A(－２,８),把 A(－２,８)代入y＝ k x ,得k＝－２×８＝ －１６,∴ 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 y＝－ １６ x ,把 B (４,n)代 入 y ＝ － １６ x ,得 n ＝ －４, ∴B(４,－４),把 A(－２,８),B(４,－４)代入y＝ax＋ b,得 －２a＋b＝８ , ４a＋b＝－４,{ 解 得 a＝－２, b＝４,{ ∴ 一 次 函 数 的 解 析 式为y＝－２x＋４．(２)S△BCH ＝ １ ２ CH ×|yB|＝ １ ２ ×４ ×４＝８． 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨