突破08 个性函数图像满分计划-备战2021年中考数学特色提分手册

突破08：“个性函数图像”满分计划 1．小亮在学习中遇到这样一个问题： 如图，点是弧上一动点，线段点是线段的中点，过点作，交的延长线于点．当为等腰三角形时，求线段的长度． 小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整： 根据点在弧上的不同位置，画出相应的图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值． 操作中发现： ①"当点为弧的中点时， "．则上中的值是 ②"线段的长度无需测量即可得到"．请简要说明理由； 将线段的长度作为自变量和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象； 继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的近似值．(结果保留一位小数)． 【答案】（1）①5.0；②见解析；（2）图象见解析；（3）图象见解析；3.5cm或5.0cm或6.3cm； 【分析】 （1）①点为弧的中点时，△ABD≌△ACD，即可得到CD=BD；②由题意得△ACF≌△ABD，即可得到CF=BD； （2）根据表格数据运用描点法即可画出函数图象； （3）画出的图象，当为等腰三角形时，分情况讨论，任意两边分别相等时，即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为BD的近似值． 【详解】 解：（1）①点为弧的中点时，由圆的性质可得： ， ∴△ABD≌△ACD， ∴CD=BD=5.0， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴△ACF≌△ABD， ∴CF=BD， ∴线段的长度无需测量即可得到； （2）函数的图象如图所示： （3）由（1）知， 画出的图象，如上图所示，当为等腰三角形时， ①，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=5.0cm； ②，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=6.3cm； ③，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=3.5cm； 综上：当为等腰三角形时，线段长度的近似值为3.5cm或5.0cm或6.3cm． 2．有这样一个问题：探究函数的图象与性质.下面是小文的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是__________； （2）下表是与的几组对应值： 如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对应值为坐标的点. ①观察图中各点的位置发现：点和，和，和，和均关于某点中心对称，则该点的坐标为____