突破03 圆圆满满满分计划-备战2021年中考数学特色提分手册

突破03：“圆圆满满”满分计划 1．如图，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于点B，且四边形BCOE是平行四边形． (1)BC是⊙O的切线吗?若是，给出证明：若不是，请说明理由； (2)若⊙O半径为1，求AD的长． 【答案】（1）是切线， 证明见解析；（2）2 【详解】 解：（1）是．理由如下： 如图，连接OB．∵BC∥OD，BC=OD， ∴四边形BCDO为平行四边形． ∵AD为圆O的切线， ∴OD⊥AD， ∴四边形BCDO为矩形， ∴OB⊥BC， 则BC为圆O的切线． （2）连接BD． ∵DE是直径， ∴∠DBE=90°． ∵四边形BCOE为平行四边形， ∴BC∥OE，BC=OE=1． 在Rt△ABD中，C为AD的中点， ∴BC=AD=1， 则AD=2． 2．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC． （1）求证：AC∥PO； （2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ=2，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 分析：（1）根据切线长定理得出PA=PB，且PO平分∠BPA，利用等腰三角形三线合一的性质得出PO⊥AB．根据圆周角定理得出AC⊥AB，进而得到AC∥PO； （2）连结OA、DF．先用勾股定理计算出AQ=4，再计算出PA=PB=6，利用切线长定理可得到F点为AB的中点，易得DF为△BAP的中位线，则DF=PA=3，DF∥PA，利用DF∥AQ得到△DFE∽△QEA，所以，设AE=4t，FE=3t，则AF=AE+FE=7t，于是BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t，最后计算． 详解：（1）证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点， ∴PA=PB，且PO平分∠BPA， ∴PO⊥AB． ∵BC是直径， ∴∠CAB=90°， ∴AC⊥AB， ∴AC∥PO； （2）连结OA、DF，如图， ∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点， ∴∠OAQ=∠PBQ=90°． 在Rt△OAQ中，OA=OC=3， ∴OQ=5． 由QA2+OA2=OQ2，得QA=4． 在Rt△PBQ中，PA=PB，QB=OQ+OB=8，由QB2+PB2=PQ2，得82+PB2=（PB+4）2，解得PB=6，