第8讲 正切函数图像及其性质（讲义）-【教育机构专用】2021年春季高一数学辅导讲义（沪教版2020必修第二册）

第8讲 正切函数图像及其性质 知识梳理 1、正切函数的图像： 可选择的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图像的画法作出正切函数的图像 x y y 0 x 根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数， 且的图像，称“正切曲线”. 由正弦函数图像可知： （1）定义域：， （2）值域： 观察：当从小于，时， 当从大于，时，. （3） 周期性： （4）奇偶性：，所以是奇函数 （5）单调性：在开区间内，函数单调递增. （6）中心对称点： 2、 余切函数的图象： 即将的图象，向左平移个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得的图象 由余弦函数图像可知： （1）定义域：， （2）值域： （3）周期性： （4）奇偶性：，所以是奇函数 （5）单调性：在开区间内，函数单调递增. （6）中心对称点： 例题解析 一、正切函数的图像 例1．（2020·全国高一课时练习）设函数. （1）求函数f(x)的最小正周期､对称中心； （2）作出函数f(x)在一个周期内的简图. 【答案】（1）最小正周期，对称中心是；（2）答案见解析. 【分析】（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数的周期，再根据正切函数的对称中心即可得到函数的对称中心. （2）根据函数的解析式得到的图象与轴的交点坐标为，图象上的、两点，再找到两侧相邻的渐近线方程，画出函数的图象即可. 【详解】（1），， 令，，解得，， 故对称中心为. （2）令，解得， 令，解得， 令，解得， 令，解得， 令，解得， 所以函数的图象与轴的一个交点坐标为， 图象上的点有、两点， 在这个周期内左右两侧相邻的渐近线方程分别为和， 从而得到函数在一个周期内的简图(如图). 【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，关键点是找出图象上的点用描点法画图象，属于中档题. 例2．（2020·全国高一课时练习）已知函数． （1）求函数的定义域； （2）用定义判断函数的奇偶性； （3）在上作出函数的图象． 【答案】（1）；（2）奇函数,见解析；(3)见解析 【分析】（1）根据,求解即可； （2）由（1）可知的定义域关于原点对称,判定和的关系,从而判定奇偶性； （3）将写为分段函数,画出图象即可 【详解】（1）由,得（）, 所以函数的定义域是. （2）由（1）知函数的定义域关于原点对称, 因为,所以是奇函数. （3）, 所以在上的图象如图所示, 【点睛】本题考查函数定义域,考查奇偶性的判断,考查函数图象. 例3.作函数的图像. 【难度】★★ 【答案】如图 【解析】 等价于 ，图像如图所示． 例4.求函数的定义域、周期、单调增区间，并画草图． 【难度】★★★ 【答案】定义域： ，周期：，单调增区间： 例5.根据正切函数图象，写出满足下列条件的的范围. （1） （2） （3） （4） 【难度】★ 【答案】 （1）, （2） （3）, （4） 例6.根据正切函数图像，写出使下列不等式成立的值的集合： （1）　　　　 　（2） 【难度】★★ 【答案】（1） （2） 例7.比较下列两数的大小 （1）与 （2）与 （3）与 【难度】★ 【答案】（1） （2） （3） 例8.函数与的图像在上的交点有 （ ） 个 个 个 个 【难度】★★ 【答案】 【巩固训练】 1．作出函数的图象. 【难度】★★ 【答案】如图 2．利用图像，不等式的解集为____________. 【难度】★★ 【答案】 3．比较与的大小 【难度】★ 【答案】，， 内单调递增. 4．若，试比较，并按从小到大的顺序排列：_________. 【难度】★★ 【答案】 5.（2020·全国高一课时练习）设函数. （1）求函数f(x)的最小正周期，对称中心； （2）作出函数在一个周期内的简图． 【答案】（1），；（2）图象见解析 【分析】（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数的周期，再根据正切函数的对称中心即可得到函数的对称中心. （2）首先根据函数的解析式得到数的图象与轴的一个交点坐标为，在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为和，再画出函数的图象即可. 【详解】（1），. 令，，解得，， 故对称中心为. （2）令，解得，令，解得， 令，解得，令，解得， 令，解得， 所以函数的图象与轴的一个交点坐标为， 在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为和. 故函数在一个周期内的函数图象为： 【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心，