第3讲二次函数-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第一册培优课程训练（学生版+教师版）

二次函数 1、 基础知识 1. 二次函数的对称轴、顶点、单调性、值域 2. 二次函数的解析式的三种表达形式 3. 二次函数的区间最值 4. 二次函数的零点分布 2、 典型问题 1.设函数.已知对于任意的，若满足，则，求正实数的最大值. 2.设二次函数满足条件： （1） 当时，，且 （2） 当时，； （3） 在上的最小值为. 求最大的，使得存在，只要，就有. 3.设二次函数，方程的两个根满足. (1)当时，证明； (2)设函数的图像关于直线对称，证明：. 4.已知是实数，函数，当时， 求证：当时，. 5.设，其中时，对任意满足的，当变化时，求的最大值. 三、跟踪训练 1.设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为__________ 2.已知二次函数的图像经过点,且不等式对一切实数成立. （1） 求函数的的解析式； （2） 若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围。 3.已知是实数，函数，，时， （1）证明： （2）证明：时，； （3）设，当时，的最大值为，求. $二次函数 1、 基础知识 1. 二次函数的对称轴、顶点、单调性、值域 2. 二次函数的解析式的三种表达形式 3. 二次函数的区间最值 4. 二次函数的零点分布 2、 典型问题 1.设函数.已知对于任意的，若满足，则，求正实数的最大值. 解：依题意，函数的对称轴为，从而题设条件等价于任意的，均有 ，当且仅当时，上式等号成立，从而，正实数的最大值为。 2.设二次函数满足条件： （1） 当时，，且 （2） 当时，； （3） 在上的最小值为. 求最大的，使得存在，只要，就有. 解：由知，二次函数的对称轴为。 又由（3）知，二次函数开口向上，即，且最小值为0，故可设 由（1）知，，由（2）知，所以，即，解得，所以 因的图像开口向上，而的图像是由的图像平移个单位得到，要在区间上，使得的图像在的图像下方，且最大，则1和应当是关于的方程 ① 的两个根。 令代入方程①，得， 当时，方程①的解为，这与矛盾；当时，方程①的解为，所以；当时，对于任意，恒有 即，所以的最大值为9. 3.设二次函数，方程的两个根满足. (1)当时，证明； (2)设函数的图像关于直线对称，证明：. 解：（1）令，则的图像关于对称，在上递减，所以当时，，即，又设，则，，因为对于，，即，。 （2）设的另一个根是，由，知，所以。 4.设，其中时，对任意满足的，当变化时，求的最大值. 解： 考察一次函数， -1≤x≤1. 当时，； 当时，. 故当时，，则 于是.且当时取到此最值. 三、跟踪训练 1.设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为__________ 解：设函数与轴的两个交点的横坐标为： 为定义域的两个端点之间的长度， 即就是的值域，即 且所有的点构成一个正方形区 2.已知二次函数的图像经过点,且不等式对一切实数成立. （1） 求函数的的解析式； （2） 若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围。 解：(1)由题设知，4a-2b+c=0，① 令，解得，由题意可得， 即4≤f(2)≤4，所以f(2)=4， 即4a+2b+c=4，② 由①②可得c=2-4a，b=1. 又f(x)≥2x恒成立，即恒成立， 所以α>0，且即(1-2)²-4a(2-4a)≤0， 所以，从而c=2-4a=1 因此函数f(x)的解析式为。 (2由得， 整理得。 当，即时，，此不等式对一切都成立的充要条件是，此不等式组无解. 当，即t=2时，(x+2t)²<0，矛盾. 当，即时，，此不等式对一切都成立的充要条件是，解得 综上可知，t的取值范围是 3.已知是实数，函数，，时， （1）证明： （2）证明：时，； （3）设，当时，的最大值为，求. 解：（1）时， （2）是一次函数，是二次函数，用表示，可设 ① 将①式右边化简、分解因式，得： ② 是实数 ②成立的条件是 ③ （3），在上是增函数。 由③可知， ④ ③式取等号的条件是，且 即 ⑤ 由④⑤式可得。 又时， 所以b=0，由④得a=2 因此所求的函数是 $