第五章 5.3.1　函数的单调性学案2020-2021学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

§5.3　导数在研究函数中的应用 5.3.1　函数的单调性 学习目标　1.了解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间． 知识点一　函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 思考　如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？ 答案　f(x)是常数函数． 知识点二　利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求出导数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 知识点三　函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 1．函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．(　　) 2．函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.(　　) 3．函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．(　　) 4．函数y＝x3＋x的单调递增区间为(－∞，＋∞)．(　　) 一、函数图象与导函数图象的关系 例1　(1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　) (2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是(　　) 反思感悟　(1)函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性． (2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大． 　(1)已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则所给的四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　) (2