第五章 5.2.3　简单复合函数的导数学案2020-2021学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.2.3　简单复合函数的导数 学习目标　1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 知识点　复合函数的导数 1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 思考　函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？ 答案　函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的． 2．复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积． 1．y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成．(　 ) 2．函数f(x)＝sin(2x)的导数为f′(x)＝cos 2x.(　　) 3．函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x－1.(　　) 一、求复合函数的导数 例1　求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝cos(x2)； (3)y＝log2(2x＋1)； (4)y＝e3x＋2. 反思感悟　(1)求复合函数的导数的步骤 (2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁． 跟踪训练1　求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝5log2(1－x)； (3)y＝sin. 二、复合函数与导数的运算法则的综合应用 例2　求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝x； (3)y＝xcossin. 反思感悟　(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的． (2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导． 跟踪训练2　求下列函数的导数： (1)y＝sin2； (2)y＝sin3x＋sin x3； (3)y＝xln(1＋x)． 三、与切线有关的综合问题 例3　(1)曲线y＝ln(2x－1)上