专题10 数列与不等式的综合问题-备战2021高考数学冲破压轴题讲与练

专题10 数列与不等式的综合问题 【压轴综述】 纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．数列与不等式的结合,一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围. 本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法. ①函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式； ②放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到； ③比较方法：作差或者作商比较．　 【压轴典例】 例1．（2020·全国高三专题练习）已知数列 是以为首项， 为公差的等差数列， 是以 为首项， 为公比的等比数列，设 ， ，则当 时， 的最小值是（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【详解】 是以1为首项，2为公差的等差数列， ，是以1为首项，2为公比的等比数列， ， ， 而 ，所以数列 是单调递增数列， 且 ， ， ， ，所以 ．所以当 时，n的最小值是10． 例2．（2021·浙江绍兴市·高三期末）设 是无穷数列，若存在正整数 ，使得对任意 ，均有 ，则称 是间隔递增数列， 是 的间隔数.若 是间隔递增数列，且最小间隔数是3，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若 是间隔递增数列且最小间隔数是 3，则 ， 成立， 则 ，对于 成立，且 对于 成立，即 ，对于 成立，且 ，对于 成立，所以 ，且 ，解得 ， 例3.（2020·江西师大附中高考模拟）数列 中的项按顺序可以排成如图的形式，第一行 项，排 ；第二行 项，从左到右分别排 ， ；第三行 项，……依此类推，设数列 的前 项和为 ，则满足 的最小正整数 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】第一行为 ，其和为 ，可以变形为： ；第二行为首项为 ，公比为 的等比数列，共 项，其和为： ；第三行为首项为 ，公比为 的等比数列，共 项，其和为 ；依此类推：第 行的和： ； 则前 行共： 个数前 行和为： 满足 ，而第六行的第 个数为： ，则 满足 的最小正整数 的值为： 例4．（2020·长沙市·湖南师大附中高三）已知曲线 .从点 向曲线 引斜率为 的切线 ，切点为 .则下列结论正确的是（ ） A．数列 的通项为 B．数列 的通项为 C．当 时， D． 【答案】ABD 【详解】设直线 ，联立 ，得 ， 则由 ，即 ，得 （负值舍去） 所以可得 ， ，所以AB对； 因为 ，因为 ，则 ，即 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 ，故C错；因为 ，令 ， .可得 在 上递减，可知 在 上恒成立.又 . 所以 成立. 故D正确. 例5．（2020·深圳实验学校高中部高三）设 为等比数列 的前 项和，满足 ，且 ， ， 成等差数列，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．若数列 中存在两项 ， 使得 ，则 的最小值为 D．若 恒成立，则 的最小值为 【答案】ABD 【详解】设等比数列 的公比为 ，由 ， 得 ，解得 ，所以 ， ； ；所以A，B正确； 若 ，则 ， ， 所以 ，所以 ，则 或 或 或 ，此时 或 或 或 ；C不正确， ， 当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，又 关于 单调递增，所以当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，所以 ， ，所以 ，D正确， 例6. （2018·江苏高考真题）已知集合 ， ．将 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 ．记 为数列 的前n项和，则使得 成立的n的最小值为________． 【答案】27 【解析】设 ，则 ，由 得 所以只需研究 是否有满足条件的解， 此时 EMBED Equation.DSMT4 ， ， 为等差数列项数，且 . 由 得满足条件的 最小值为 . 例7．（2020·河南洛阳高三模拟）记首项为 ，公差为 的等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则实数 的取值范围为__________． 【答案】 【解析】由 ，得 .因为 ，所以 ， .所以当 时， ，当 时， . （1）当 时，由 得 . 因为 ，所以 . （2）当 时，由 得 . 因为 ，所以 .综上所述， 的取值范围是 . 例8．（2019·四川重庆南开中学高考模拟）在正项递增等比数列 中， ，记 ， ，