专题09 数列中不等式恒成立问题-备战2021高考数学冲破压轴题讲与练

专题09 数列中不等式恒成立问题 【压轴综述】 纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．数列中不等式恒成立问题，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一. 主要有两类：一是证明不等式恒成立，二是由不等式恒成立确定参数的值（范围）. 以数列为背景的不等式恒成立问题,或不等式的证明问题,多与数列求和相联系,最后利用函数的单调性求解,或利用放缩法证明. 本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法. (1)数列与不等式的综合问题，如果是证明题，要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式，往往采用因式分解法或穿根法等． (2)如用放缩法证明与数列求和有关的不等式，一般有两种方法：一种是求和后再放缩；一种是放缩后再求和．放缩时，一要注意放缩的尺度，二要注意从哪一项开始放缩． 【压轴典例】 例1．（2021·新疆高三其他模拟）若 是函数的极值点，数列 满足 ， ，设 ，记 表示不超过 的最大整数.设 ，若不等式 对 恒成立，则实数 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ，∴ ，即有 ，∴ 是以2为首项3为公比的等比数列，∴ ， ∴ ∴ EMBED Equation.DSMT4 ，又 为增函数，当 时， ， ，若 恒成立，则 的最大值为1010. 例2．（2020·全国高三专题练习）（多选）已知数列 中， ， ， .若对于任意的 ，不等式 恒成立，则实数 可能为（ ） A．－4 B．－2 C．0 D．2 【答案】AB 【详解】 ， ，则 ， ， ， ，上述式子累加可得： ， ， 对于任意的 恒成立，整理得 对于任意的 恒成立，对A，当 时，不等式 ，解集 ，包含 ，故A正确；对B，当 时，不等式 ，解集 ，包含 ，故B正确；对C，当 时，不等式 ，解集 ，不包含 ，故C错误；对D，当 时，不等式 ，解集 ，不包含 ，故D错误， 例3．（2020·嘉兴市第五高级中学高三）设 ，若数列 是无穷数列，且满足对任意实数 不等式 恒成立，则下列选项正确的是（ ） A．存在数列 为单调递增的等差数列 B．存在数列 为单调递增的等比数列 C． 恒成立 D． 【答案】D 【详解】因为 ， ，当 时， ，解得 。当 时，因为 ，所以 ，解得 。 因为无穷数列 ，对任意实数 不等式 恒成立，所以 。 对选项A，若 为单调递增的等差数列，设 ， ，则 ，故A错误；对选项B，若 为单调递增的等比数列，设 ， 则 ，故B错误；对选项C，因为 ，设 ，取 ，则 ， ，显然 不成立；故C错误； 对于选项D：当 时，由 ，显然 恒成立，假设当 时， 成立，则当 时， 故 恒成立，故D正确. 例4．（2021·江苏高三一模）已知等差数列 满足 . （1）求数列 的通项公式； （2）记数列 的前n项和为 .若 ， ( 为偶数)，求 的值. 【答案】（1） ；（2） . 【详解】（1）设等差数列 的公差为d，因为 ，所以 即 解得 ，所以 . 经检验， 符合题设，所以数列 的通项公式为 . （2）由（1）得， ， 所以 . ，∴ ，因为 ， ，所以 ，即 .因为 为偶数，所以 . 例5．（2021·天津滨海新区·高三）已知数列 是公差不为0的等差数列， ，数列 是等比数列，且 ， ， ，数列 的前n项和为 . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求 的前n项和 ； （3）若 对 恒成立，求 的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【详解】（1）设数列 的公差为 ， ，因为数列 是等比数列，所以 ， 所以 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，数列 的公比 ，所以 . （2）由（1）知 ， ， 所以 ， 当 时， EMBED Equation.DSMT4 ， 当 时， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 . （3） EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， ， 令 ， 当 为奇数时， EMBED Equation.DSMT4 ，且 递减，可得 的最大值为 ，当 为偶数时， EMBED Equation.DSMT4 ，且 递增，可得 的最小值为 ，所以 的最小值为 ，最大值为 ，因为 对 恒成立，所以 ，所以 ，所以 的最小值为 . 例6.（2019·浙江高考真题）设等差数列 的前 项和为 ， ， ，数列 满足：对每 成等比数列. （1）求数列 的通项公式； （2）记 证明：