专题08 数列中的最值问题-备战2021高考数学冲破压轴题讲与练

专题08 数列中的最值问题 【压轴综述】 纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．探求数列中的最值问题，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一.本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法. 1.常见思路一：构建函数模型，利用函数的图象和性质解决最值问题； 2.常见思路二：构建函数模型，应用导数研究函数的最值； 3.常见思路三：构建不等式求解，确定范围，实现求最值； 4.常见思路四：应用基本不等式，确定最值． 【压轴典例】 例1.(2020·北京高考·T8)在等差数列{an}中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2…an(n=1,2,…),则数列{Tn} (　　) A.有最大项,有最小项　　　　　 B.有最大项,无最小项 C.无最大项,有最小项 D.无最大项,无最小项 【解析】选B.设公差为d,因为a1=-9,a5=a1+4d=-1,所以d=2,所以a1,…,a5<0,a6,…>0, 所以T1<0,T2>0,T3<0,T4>0,T5<0,以后都小于0,且越来越小. 例2．（2021·山西运城市·高三期末）设首项为1的数列 的前n项和为，且 ，若 ，则正整数m的最小值为（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【详解】当 为奇数时， ，所以 ，又 ，所以 成等比数列，公比为2， ，即 ， 当 为偶数时， ，所以 ，又 ，所以 成等比数列，公比为2， ，即 ，所以 ， ， ， ，所以满足 的正整数m的最小值为16． 例3．（2021·新疆高三其他模拟）若 是函数 的极值点，数列 满足 ， ，设 ，记 表示不超过 的最大整数.设 ，若不等式 对 恒成立，则实数 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ，∴ ，即有 ，∴ 是以2为首项3为公比的等比数列，∴ ， ∴ ∴ EMBED Equation.DSMT4 ，又 为增函数，当 时， ， ，若 恒成立，则 的最大值为1010. 例4．（2021·全国高三其他模拟）数列 满足： ， ，若数列 的前 项和 ，则 最小为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】因为 ， ，所以 ，所以 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 因为 ，所以 ，解得 ， 例5.（河南省开封市2020高三）已知等比数列满足：， ，则取最小值时，数列 的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为，当时，，则 当时，，，两式相减得：，即，，解得，又，当且仅当时，等号成立.取最小值1时，， 例6.（安徽省黄山市2020高三）已知数列和的前项和分别为和，且，，，若对任意的 ，恒成立，则的最小值为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，相减得，因为，所以，又，所以, 因为，所以,因此，,从而,即的最小值为. 例7.（广西柳州市2020高三）已知点在函数的图象上（）.数列的前项和为，设，数列的前项和为.则的最小值为____ 【答案】 【解析】点在函数图象上，,是首项为，公比的等比数列，，则，是首项为，公差为2的等差数列，当，即时，最小，即最小值为. 例8.（2019·天津高考模拟）已知数列 是正项等比数列， ,数列 满足条件 . (Ⅰ) 求数列 、 的通项公式； (Ⅱ) 设 ,记数列 的前 项和 . ①求 ； ②求正整数 ，使得对任意 ，均有 . 【答案】（1） ， （2）① ② . 【解析】（1）设数列 是正项等比数列的公比为 ，因为 ， 所以有 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 （2）①因为 ，所以 ， ②令 ， 由于 比 变化的快，所以 ，得 ，即 ,递增而 递减， 是最大，即当 时，对任意 ，均有 . 例9．（2021·广西南宁市·南宁三中高三）根据预测，疫情期间，某医院第 天口罩供应量和消耗量分别为 和 （单位：个），其中 ， ，第 天末的口罩保有量是前 天的累计供应量与消耗量的差． （1）求该医院第 天末的口罩保有量； （2）已知该医院口罩仓库在第 天末的口罩容纳量 （单位：个）．设在某天末，口罩保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时仓库的口罩容纳量？ 【答案】（1） ；（2）第 天末，口罩保有量达到最大超过了. 【详解】（1）第 天末的口罩保有量是前 天口罩供应量和消耗量之差，将 代