专题07 数列的构成规律探索-备战2021高考数学冲破压轴题讲与练

专题07 数列的构成规律探索 【压轴综述】 纵观近几年的高考命题，探求数列的构成规律，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一.本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法. 1.(1)已知an与an＋1的关系式求通项an时，常有以下类型：①形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)不是常数)的解决方法是累加法；②形如an＋1＝an·f(n)(f(n)不是常数)的解决方法是累乘法；③形如an＋1＝pan＋q(p，q均为常数且p≠1，q≠0)解决方法是将其构造成一个新的等比数列；④形如an＋1＝pan＋qn(p，q均为常数，pq(p－1)≠0)解决方法是在递推公式两边同除以qn＋1. (2)给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an. 2.证明数列{an}是等差数列的两种基本方法 (1)利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数； (2)利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． 3.证明数列{an}是等比数列的两种基本方法 (1)利用定义，证明 为一常数； (2)利用等比中项，即证明 ＝an－1an＋1(n≥2)． 【压轴典例】 例1.(2020·全国卷Ⅱ理科·T12)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2…an…满足ai∈{0,1}(i=1,2,…),且存在正整数m,使得ai+m=ai(i=1,2,…)成立,则称其为0-1周期序列,并称满足ai+m=ai(i=1,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列a1a2…an…,C(k)=aiai+k(k=1,2,…,m-1)是描述其性质的重要指标,下列周期为5的0-1序列中,满足C(k)≤(k=1,2,3,4)的序列是 (　　) A.11010… B.11011… C.10001… D.11001… 【解析】选C.由ai+m=ai知,序列ai的周期为m,由已知,m=5, C(k)=aiai+k(k=1,2,3,4),对于选项A, C(1)=aiai+1=(a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6)=(1+0+0+0+0)=≤, C(2)=aiai+2=(a1a3+a2a4+a3a5+a4a6+a5a7)=(0+1+0+1+0)=,不满足;对于选项B, C(1)=aiai+1=(a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6)=(1+0+0+1+1)=,不满足;对于选项D, C(1)=aiai+1=(a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6)=(1+0+0+0+1)=,不满足. 例2.(2020·北京高考·T21)已知{an}是无穷数列,给出两个性质: ①对于{an}中任意两项ai,aj(i>j),在{an}中都存在一项am,使得=am; ②对于{an}中任意项an(n≥3),在{an}中都存在两项ak,al(k>l),使得an=. (1)若an=n(n=1,2,…),判断数列{an}是否满足性质①,说明理由; (2)若an=2n-1(n=1,2,…),判断数列{an}是否同时满足性质①和性质②,说明理由; (3)若{an}是递增数列,且同时满足性质①和性质②,证明:{an}为等比数列. 【解析】(1)不满足.如考虑素数,ai为a7=7,aj为a3=3,=不是整数,即不存在am使=am,所以不满足性质①; (2)先验证满足性质①.任意i>j,==22i-j-1=a2i-j,即存在am=a2i-j使=am. 验证满足性质②.对任意项an(n≥3),当n为奇数时,设n=2r+1(r=1,2,…), 则an=a2r+1=22r===;k=r+1,l=1满足性质②. 当n为偶数时,设n=2r+2(r=1,2,…),则an=a2r+2=22r+1===, 此时k=r+2,l=2满足性质②,所以数列{an}满足性质②,综上,数列{an}同时满足性质①和性质②. (3){an}有性质①可知∀n∈N*,an≠0.令q=≠0,若a1>0,由{an}递增知∀n∈N*,an≥a1>0,故q>1,若a1<0,如果a2>0,由性质①∃m∈N*.使am=<0,又{an}递增,所以m=1,a2=-a1,此时∃m∈N*,使am=<0,同理a3=-a1矛盾,故a2<0,由此可得a1<0时,∀n∈N*,an<0,q∈(0,1). 以下用数学归纳法证明: ∀n∈N*,当正整数k≤n时有ak=a1qk-1. (i)k=1时,a1qk-1=a1q1-1=a1,k=2时,a1qk-2=a1q2-1=a1q=a2, k=3时,对a3由性质②,存在正整数i>j使a3=,又{an}递增,所以ai>aj. 若a1>0,则