专题20：双曲线-备战2021年高考数学（理）三轮复习查缺补漏特色专题

专题20：双曲线知识点和精选提升题（解析版） 一、单选题 1．已知双曲线 ， ， 分別是双曲线 的两个焦点.点 在双曲线 上，且 ，则 等于（ ） A．11 B．3或11 C．13 D．1或13 【答案】D 【分析】 根据双曲线的定义，得到 ，由题中条件，即可求出结果. 【详解】 因为 ， 分別是双曲线 的两个焦点，点 在双曲线 上， 所以 ， 又 ，所以 ，解得 或 . 故选：D. 2．已知双曲线 ，则其渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 直接根据双曲线的简单几何性质计算可得； 【详解】 解：因为双曲线方程为 ，令 ，即 ，即 ，故双曲线的渐近线方程为 故选：D 3．双曲线 的离心率为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】 将双曲线 化成标准形式，从而得出a、b的值，用平方关系算出 ，再用双曲线的离心率公式，可得离心率e的值. 【详解】 双曲线 化成标准形式为 ∴ ， ，得 由此可得双曲线的离心率为 故选：D 4．已知双曲线 的虚轴长是实轴长的 倍，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 求出 、 ，根据 可求得 的值. 【详解】 由题意可知，双曲线 的焦点在 轴上，则 ， ， 因为双曲线 的虚轴长是实轴长的 倍，则 ，即 ，解得 . 故选：C. 5．已知点 为双曲线 的左焦点，点 为双曲线 与圆 的一个交点，则 （ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据双曲线的定义可得 ，计算可得； 【详解】 解：设 为双曲线 的右焦点， 又圆 的半径为 ， 如图连接 ，则 ，根据双曲线的定义，可得 ，即 ，所以 故选：C 6．“ ”是“方程 表示双曲线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据方程是双曲线求出 的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】 若方程 表示双曲线， 则 ，得 ， 则 能推出 ， 不能推出 ， “ ”是“方程 表示双曲线”的充分不必要条件， 故选：A． 7．已知椭圆 的长轴端点和焦点分别是双曲线 的焦点和顶点，则双曲线 的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由椭圆的方程先求出双曲线的焦点和顶点坐标，再结合 即可求解. 【详解】 由椭圆 可得 ， ，所以 ， 可得 ， 所以椭圆的长轴端点为 ，焦点为 所以双曲线的焦点为 ，顶点为 设双曲线方程为 ，可得 ， ， 所以 ， 所以双曲线 的方程为 ， 故选：C. 8．已知 为椭圆和双曲线的公共焦点，P为其一个公共点，且 ，若椭圆与双曲线的离心率分别为 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的半实轴长为 ，不妨设点 在第一象限，然后根据椭圆和双曲线的定义可得 ，再利用余弦定理列等式，转化为离心率的等式后，根据基本不等式可求得. 【详解】 如图所示： 设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的半实轴长为 ， 不妨设点 在第一象限，则根据椭圆及双曲线的定义得， ， ， 所以 ， ， 设 ， ， 在 中，由余弦定理得 ， 化简可得： ，所以 ，即 ， 由 ，解得 . 故选：D 9．设双曲线 的左､右焦点分别为 ，过点 的直线l与C的两支分别交于点A，B，若点M满足 ， ，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由题意得到点 落在以 为直径的圆上，得出 ，且 ，再根据双曲线的定义求得 ，在 中，利用余弦定理，列出方程，求得 ，进而求得渐近线方程. 【详解】 如图所示，不妨设A在B的右侧， 由题意知点M满足 ，即点 为线段 的中点， 又由 ，所以 ， 即点 落在以 为直径的圆上，所以 ，且 ， 根据双曲线的定义得 ， ，则 ， 且有 ， 代入可得 ，则 ， 因为 ，则 ，且 ， 则 ，则 ， 在 中， ，则 ， 即 ， 整理得 ，所以 ，故渐近线方程为 . 故选：B. 10．设双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过 作x轴的垂线与双曲线的渐近线在第一象限交于点B，连接 交双曲线的左支于A点，则 的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据双曲线方程求出 ，利用双曲线的定义将 化为 ，可求出 的周长. 【详解】 由 得 ，所以 ， ， 双曲线经过点 的渐近线为 ，所以 ，所以 ， ， 所以 ， 所以 ， 所以 的周长为 . 故选：A 【点睛】 关键点点睛：利用双曲线的定义将 化为 是解题关键. 11．已知双曲线 ： 的左、右焦点分别是 ， ，点 关于 ， 对称的点分别是 ， ，线段 的中点在双曲线 的右支上