专题15：向量法解立体几何-备战2021年高考数学（理）三轮复习查缺补漏特色专题

专题15：向量法解立体几何知识点和精选提升题（解析版） 向量法解立体几何 1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量： 若A、B是直线 上的任意两点，则 为直线 的一个方向向量；与 平行的任意非零向量也是直线 的方向向量. ⑵．平面的法向量： 若向量 所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作 ，如果 ，那么向量 叫做平面 的法向量. ⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系． ②设平面 的法向量为 ． ③求出平面内两个不共线向量的坐标 ． ④根据法向量定义建立方程组 . ⑤解方程组，取其中一组解，即得平面 的法向量. 2、用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行。设直线 的方向向量分别是 ，则要证明 ∥ ，只需证明 ∥ ，即 . ⑵线面平行。设直线 的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，则要证明 ∥ ，只需证明 ，即 . ⑶面面平行。若平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，要证 ∥ ，只需证 ∥ ，即证 . 用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直。设直线 的方向向量分别是 ，则要证明 ，只需证明 ，即 . ⑵线面垂直 ①（法一）设直线 的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，则要证明 ，只需证明 ∥ ，即 . ②（法二）设直线 的方向向量是 ，平面 内的两个相交向量分别为 ，若 ⑶面面垂直。 若平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，要证 ，只需证 ，即证 . 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角 已知 为两异面直线，A，C与B，D分别是 上的任意两点， 所成的角为 ，则 ⑵求直线和平面所成的角 求法：设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，直线与平面所成的角为 ， 与 的夹角为 ，　则 为 的余角或 的补角 的余角.即有： ⑶求二面角 二面角的平面角是指在二面角 的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线 ，则 为二面角 的平面角. 如图： 求法：设二面角 的两个半平面的法向量分别为 ，再设 的夹角为 ，二面角 的平面角为 ，则二面角 为 的夹角 或其补角 根据具体图形确定 是锐角或是钝角： 如果 是锐角，则 ， 即 ； 如果 是钝角，则 ， 即 . 5、利用法向量求空间距离 ⑴点Q到直线 距离 若Q为直线 外的一点, 在直线 上， 为直线 的方向向量， = ，则点Q到直线 距离为 ⑵点A到平面 的距离 若点P为平面 外一点，点M为平面 内任一点，平面 的法向量为 ，则P到平面 的距离就等于 在法向量 方向上的投影的绝对值. 即 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ⑷两平行平面 之间的距离 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即 ⑸异面直线间的距离 设向量 与两异面直线 都垂直， 则两异面直线 间的距离 就是 在向量 方向上投影的绝对值。 即 一、解答题 1．如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC= ，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD= ，试建立适当的坐标系. （1）求平面ABCD的一个法向量； （2）求平面SAB的一个法向量； （3）求平面SCD的一个法向量. 【答案】（1）(0，0，1)；（2） ，0，0 ；（3）(2，-1，1). 【分析】 以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系： （1）由法向量的定义可知， 是平面ABCD的一个法向量； （2）可证AD⊥平面SAB，所以 是平面SAB的一个法向量； （3）设平面SCD的法向量是 =(x，y，z)，根据 ⊥ ， ⊥ ，计算可得结果. 【详解】 以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D ，0，0，S(0，0，1). （1）∵SA⊥平面ABCD， ∴ =(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量. （2）∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB， ∴ = ，0，0是平面SAB的一个法向量. （3）在平面SCD中， = ，1，0， =(1，1，-1). 设平面SCD的法向量是 =(x，y，z)，则 ⊥ ， ⊥ ，∴ 得方程组 令 ，则 ， ，∴ =(2，-1，1). 所以 =(2，-1，1)是平面SCD的一个法向量. 【点睛】 本题考查了平面的法向量的求法，属于基础题. 2．如图,在三棱锥 中, 是等边三角形, ,点 是 的中点,连接 ． （1）证明:平面 平面 ; （2）若 ,且二面角 为 ,求直线 与平面 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析（2） 【分析】 （1）由 是等边三角